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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
Supposons f lipschitzienne par rapport à sa seconde variable x au voisinage de (0, 0). Il existe alors k > 0 et
r vérifiant 0 < r < 1 tels que, dès que /x/ < r, /y/ < r et /t/ < r, alors /J(t, x) - f(t, y)/ < k/x - y/. En
particulier, pourO < /t/ < r, x = t 2 ety = -t 2 ,onaurait l/f(t, t 2 )-f(t, -t 2 )1/ = 4/t/:::; 2kt 2 , soit encore
2 :::; k/t/, ce qui est impossible.
2) Soit cp une solution de l'équation différentielle
x'(t) = f(t,x(t)),
définie sur un intervalle I ne contenant pas O. Soit'!/; l'application définie sur Iparla relation cp(t) = t 2 '1/;(t).
En écrivant que cp est solution de ( *) on obtient après quelques calculs, pour tout t E J,
'l/; 1 (t) = g(t,'l/;(t))'
avec
2y(l - y 2 )
g(t, y) = t(l + y2) '
(t,y) E 0 = lR* x lR.
Ainsi'!/; est solution de l'équation différentielle ( ** ).
Réciproquement, si'!/; est une solution de l'équation différentielle (**)définie sur un intervalle J, cet intervalle
ne contient pas 0 et l'application cp telle que, pour t E J, cp(t) = t 2 '1/;(t) est une solution, définie sur I, de
l'équation différentielle ( *).
Résolvons l'équation ( **).L'application g vérifie sur son domaine de définition n les conditions d'application
de la forme globale 2.10 du théorème de Cauchy-Lipschitz. On vérifie immédiatement que les applications
constantes'!/; telles que 'l/;(t) = a, avec a = 0, a = 1 ou a = -1, sont solutions maximales sur chacun des
intervalles J - oo, 0( et JO, +oo(. Toute autre solution maximale '!/; : I -+ lR est donc telle que '!/;, '!/; - 1 et
'!/; + 1 ne s'annulent en aucun point de I et, par continuité, gardent un signe constant sur I. Ainsi, 'l/; 1 ne s'annule
pas et garde un signe constant sur I, donc la fonction'!/; est strictement monotone sur son intervalle de définition
I. Aussi on peut considérer son inverse 'l/;- 1 . Cette remarque justifie l'emploi de la méthode de résolution de
l'équation(**) consistant à considérer y comme la variable indépendante et 'l/;- 1 : y >--+ 'l/;- 1 (y) comme
la fonction inconnue. Cette méthode convient pour la résolution des équations différentielles dites à variables
séparées, comme l'équation ( **).On peut écrire cette équation sous la forme
dy
2y(l - y 2 )
dt = t(l + y2) '
ou encore
1 + Y
2
dy = ~ dt .
2y(l - y 2 )
t
Dans cette dernière expression le membre de gauche ne contient que y et sa différentielle dy, et le membre de
droite ne contient que t et sa différentielle dt; on dit qu'on a séparé les variables y et t. En supposant que y ne
prend jamais les valeurs 0, 1 ou -1, on peut aisément résondre cette équation par quadratures. Après calcul, on
trouve que les solutions maximales y>--+ t(y) sont les fonctions définie par la relation kt 2 (y) = y/(y 2 - 1),
où k est une constante réelle non nulle. Les solutions maximales '!/; : I -+ lR recherchées vérifient donc
kt 2 = 'l/;(t)/ ( 'l/; 2 (t) - 1); en résolvant une équation du second degré, on obtient leurs expressions explicites:
·'· (t) = 1 + v11 + 4k2t4
o/l
2kt2
•
1 - v1+4k2t4
'l/;2(t) =
2kt2
Les fonctions 'l/;1 et 'l/;2 définies par ces expressions sur les intervalles I = J - oo, O[ et J =JO, +oo[ sont les
solutions maximales de l'équation différentielle (**)autres que les solutions constantes déja trouvées.
On en déduit que les fonctions cp1 et cp2,
( )
1 + v1 + 4k2t4
'Pl t = -----2k
1 - v11+4k2t4
cp2(t) =
2k
'
sont solutions, sur les intervalles I = J - oo, O[ et J =JO, +oo[, de l'équation différentielle ( * ).
On remarque que limt_,o cp2 ( t) = limt_,o cp~ ( t) = O. Pour chaque constante réelle k non nulle, la fonction
1- v1+4k2t4
cp(t) = ___ 2_k __ _
est donc une solution de l'équation (*),maximale puisque définie sur IR entier, satisfaisant la donnée de Cauchy
(0, 0).
Solution V.3.
Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
Supposons f lipschitzienne par rapport à sa seconde variable x au voisinage de (0, 0). Il existe alors k > 0 et
r vérifiant 0 < r < 1 tels que, dès que /x/ < r, /y/ < r et /t/ < r, alors /J(t, x) - f(t, y)/ < k/x - y/. En
particulier, pourO < /t/ < r, x = t 2 ety = -t 2 ,onaurait l/f(t, t 2 )-f(t, -t 2 )1/ = 4/t/:::; 2kt 2 , soit encore
2 :::; k/t/, ce qui est impossible.
2) Soit cp une solution de l'équation différentielle
x'(t) = f(t,x(t)),
définie sur un intervalle I ne contenant pas O. Soit'!/; l'application définie sur Iparla relation cp(t) = t 2 '1/;(t).
En écrivant que cp est solution de ( *) on obtient après quelques calculs, pour tout t E J,
'l/; 1 (t) = g(t,'l/;(t))'
avec
2y(l - y 2 )
g(t, y) = t(l + y2) '
(t,y) E 0 = lR* x lR.
Ainsi'!/; est solution de l'équation différentielle ( ** ).
Réciproquement, si'!/; est une solution de l'équation différentielle (**)définie sur un intervalle J, cet intervalle
ne contient pas 0 et l'application cp telle que, pour t E J, cp(t) = t 2 '1/;(t) est une solution, définie sur I, de
l'équation différentielle ( *).
Résolvons l'équation ( **).L'application g vérifie sur son domaine de définition n les conditions d'application
de la forme globale 2.10 du théorème de Cauchy-Lipschitz. On vérifie immédiatement que les applications
constantes'!/; telles que 'l/;(t) = a, avec a = 0, a = 1 ou a = -1, sont solutions maximales sur chacun des
intervalles J - oo, 0( et JO, +oo(. Toute autre solution maximale '!/; : I -+ lR est donc telle que '!/;, '!/; - 1 et
'!/; + 1 ne s'annulent en aucun point de I et, par continuité, gardent un signe constant sur I. Ainsi, 'l/; 1 ne s'annule
pas et garde un signe constant sur I, donc la fonction'!/; est strictement monotone sur son intervalle de définition
I. Aussi on peut considérer son inverse 'l/;- 1 . Cette remarque justifie l'emploi de la méthode de résolution de
l'équation(**) consistant à considérer y comme la variable indépendante et 'l/;- 1 : y >--+ 'l/;- 1 (y) comme
la fonction inconnue. Cette méthode convient pour la résolution des équations différentielles dites à variables
séparées, comme l'équation ( **).On peut écrire cette équation sous la forme
dy
2y(l - y 2 )
dt = t(l + y2) '
ou encore
1 + Y
2
dy = ~ dt .
2y(l - y 2 )
t
Dans cette dernière expression le membre de gauche ne contient que y et sa différentielle dy, et le membre de
droite ne contient que t et sa différentielle dt; on dit qu'on a séparé les variables y et t. En supposant que y ne
prend jamais les valeurs 0, 1 ou -1, on peut aisément résondre cette équation par quadratures. Après calcul, on
trouve que les solutions maximales y>--+ t(y) sont les fonctions définie par la relation kt 2 (y) = y/(y 2 - 1),
où k est une constante réelle non nulle. Les solutions maximales '!/; : I -+ lR recherchées vérifient donc
kt 2 = 'l/;(t)/ ( 'l/; 2 (t) - 1); en résolvant une équation du second degré, on obtient leurs expressions explicites:
·'· (t) = 1 + v11 + 4k2t4
o/l
2kt2
•
1 - v1+4k2t4
'l/;2(t) =
2kt2
Les fonctions 'l/;1 et 'l/;2 définies par ces expressions sur les intervalles I = J - oo, O[ et J =JO, +oo[ sont les
solutions maximales de l'équation différentielle (**)autres que les solutions constantes déja trouvées.
On en déduit que les fonctions cp1 et cp2,
( )
1 + v1 + 4k2t4
'Pl t = -----2k
1 - v11+4k2t4
cp2(t) =
2k
'
sont solutions, sur les intervalles I = J - oo, O[ et J =JO, +oo[, de l'équation différentielle ( * ).
On remarque que limt_,o cp2 ( t) = limt_,o cp~ ( t) = O. Pour chaque constante réelle k non nulle, la fonction
1- v1+4k2t4
cp(t) = ___ 2_k __ _
est donc une solution de l'équation (*),maximale puisque définie sur IR entier, satisfaisant la donnée de Cauchy
(0, 0).
Solution V.3.