§ 6. Solutions
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1) L'application F : IR X .C(E, E) -+ .C(E, E), F(t, X) = -X o A o X, est la composée de la projection p
de IR x .C(E, E) sur son second facteur et de l'application f, définie sur .C(E, E), f(X) = -X o A o X.
L'application f est différentiable de classe e 00 car composée des applications X >--+ (X, X), linéaire continue
sur .C(E, E), et (X, Y)>--+ -X o A o Y, définie sur .C(E) x .C(E), bilinéaire continue.
L'application F est donc continue, et même différentiable de classe e 00 . La proposition VI.4.2 montre que
l'équation différentielle
X' (t) = -X(t) o A o X(t)
satisfait les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz (forme globale 2. IO). Il existe donc une solution
maximale unique de cette équation satisfaisant la donnée de Cauchy (0, idE)·
2) Soit T > 0 et Bp(idE, T) la boule fermée de .C(E, E) de centre idE et de rayon T. Pour tout
(t,X) E IR x Bp(idE,T), llX - idE Il :ST, ce qui entraîne llXll :S 1 + T, et par suite llF(X,t)ll :S
llAll llXll 2 :S llAll(l + T) 2 . Posons l(r) = llAll(; + r) 2 , et choisissons un réel 1 tel que 0 < 1 < l(r).
On remarque que [-1, 1] x Bp(idE, T) est un tonneau de sécurité fermé de centre (0, idE ). Le théorème de
Cauchy-Lipschitz 2.7 permet d'affirmer que la solution maximale ] - 1, 1 [; ce résultat étant vrai pour tout 1 tel que 0 < 1 < l( r ),
3) Soit ' l/J l'application, définie sur Io, 'l/J(t) = (idE +tA) o
X'(t) = X(t) o A o
IR x .C(E, E), a pour expression G(t, X) = X o A o
la donnée de Cauchy (0, 0). Mais on constate que l'application nulle est également solution sur Io de ( **) et
vérifie la donnée de Cauchy (0, 0). C'est poourquoi ' l/J est nulle sur Io.
Finalement, pour tout t E Io, (idE -tA) o
1) Puisque f est une application de E x F dans .C(E, F), pour (x, y) E E X F, f(x, y) est élément de
.C(E, F) et les différentielles partielles de f en ce point, Jf (x, y) et f~(x, y), appartiennent respectivement aux
espaces .C ( E, .C(E, F)) et .C ( F, .C(E, F)). Ainsi g(x, y) = Jf (x, y) + f~ (x, y) of (x, y) est élément de
.c( E, .C(E, F)), soitencore(voirremarqueIII.1.2) g(x, y) estélémentde.C( E 2 ; F)), espace des applications
bilinéaires continues de E 2 dans F.
D'autre part, g est somme de Jf et de (x, y) >--+ f~(x, y) of (x, y). Son premier terme, Jf, est une application
continue, puisque f est de classe et. Quant à l'application (x, y) >--+ f~(x, y) o f(x, y), c'est la composée
de de (x, y) >--+ (!~(x, y), f (x, y)), qui est continue car ses deux composantes le sont, et de l'application de
.c(F, .C(E, F)) x .C(E, F) dans .c(E,.C(E, F)), (X, Y)>--+ X o Y, bilinéaire continue. L'applicationgest
donc continue.
2 a) Soit (a, b) E E x F, U un voisinage ouvert de a dans E et Utelle que, pour tout x E U,
t.p(a) = b.
( 1)
Les applications x >--+ ( x, t.p( x)) et f sont continues. L'application par suite
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1) L'application F : IR X .C(E, E) -+ .C(E, E), F(t, X) = -X o A o X, est la composée de la projection p
de IR x .C(E, E) sur son second facteur et de l'application f, définie sur .C(E, E), f(X) = -X o A o X.
L'application f est différentiable de classe e 00 car composée des applications X >--+ (X, X), linéaire continue
sur .C(E, E), et (X, Y)>--+ -X o A o Y, définie sur .C(E) x .C(E), bilinéaire continue.
L'application F est donc continue, et même différentiable de classe e 00 . La proposition VI.4.2 montre que
l'équation différentielle
X' (t) = -X(t) o A o X(t)
satisfait les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz (forme globale 2. IO). Il existe donc une solution
maximale unique de cette équation satisfaisant la donnée de Cauchy (0, idE)·
2) Soit T > 0 et Bp(idE, T) la boule fermée de .C(E, E) de centre idE et de rayon T. Pour tout
(t,X) E IR x Bp(idE,T), llX - idE Il :ST, ce qui entraîne llXll :S 1 + T, et par suite llF(X,t)ll :S
llAll llXll 2 :S llAll(l + T) 2 . Posons l(r) = llAll(; + r) 2 , et choisissons un réel 1 tel que 0 < 1 < l(r).
On remarque que [-1, 1] x Bp(idE, T) est un tonneau de sécurité fermé de centre (0, idE ). Le théorème de
Cauchy-Lipschitz 2.7 permet d'affirmer que la solution maximale ] - 1, 1 [; ce résultat étant vrai pour tout 1 tel que 0 < 1 < l( r ),
0
a été choisi de façon arbitraire. L'étude des variations de la fonction f lorsque r E] 0, +oo[ montre que cette
fonction atteint son maximum pour 1' = 1, et vaut alors l(l) = 4 ll~ll. L'intervalle de définition de
3) Soit ' l/J l'application, définie sur Io, 'l/J(t) = (idE +tA) o
X'(t) = X(t) o A o
IR x .C(E, E), a pour expression G(t, X) = X o A o
la donnée de Cauchy (0, 0). Mais on constate que l'application nulle est également solution sur Io de ( **) et
vérifie la donnée de Cauchy (0, 0). C'est poourquoi ' l/J est nulle sur Io.
Finalement, pour tout t E Io, (idE -tA) o
1) Puisque f est une application de E x F dans .C(E, F), pour (x, y) E E X F, f(x, y) est élément de
.C(E, F) et les différentielles partielles de f en ce point, Jf (x, y) et f~(x, y), appartiennent respectivement aux
espaces .C ( E, .C(E, F)) et .C ( F, .C(E, F)). Ainsi g(x, y) = Jf (x, y) + f~ (x, y) of (x, y) est élément de
.c( E, .C(E, F)), soitencore(voirremarqueIII.1.2) g(x, y) estélémentde.C( E 2 ; F)), espace des applications
bilinéaires continues de E 2 dans F.
D'autre part, g est somme de Jf et de (x, y) >--+ f~(x, y) of (x, y). Son premier terme, Jf, est une application
continue, puisque f est de classe et. Quant à l'application (x, y) >--+ f~(x, y) o f(x, y), c'est la composée
de de (x, y) >--+ (!~(x, y), f (x, y)), qui est continue car ses deux composantes le sont, et de l'application de
.c(F, .C(E, F)) x .C(E, F) dans .c(E,.C(E, F)), (X, Y)>--+ X o Y, bilinéaire continue. L'applicationgest
donc continue.
2 a) Soit (a, b) E E x F, U un voisinage ouvert de a dans E et Utelle que, pour tout x E U,
t.p(a) = b.
( 1)
Les applications x >--+ ( x, t.p( x)) et f sont continues. L'application par suite