symétriques continues de E 2 dans F. L'application bilinéaire g(a, b) est donc symétrique.
2 b) Soit x E U fixé et J = { t E lR ; t(x - a)+ a E U }. L'application t ,_. t(x - a)+ a, définie sur lR et à
valeurs dans E, est continue; elle applique l'intervalle [0, 1] sur le segment de droite [a, x]. L'image réciproque
I de l'ouvert U par cette application est un ouvert de lR contenant [O, 1]. De plus, U étant convexe, I est un
intervalle.
L'application t ,_. 1/J( t) = t.p ( t( x - a) + a) est donc définie sur J, intervalle ouvert contenant [O, 1 ]. Elle est
dérivable sur J, car composée d'applications différentiables, et a pour dérivée
1/! 1 (t) = t.p 1 (t(x - a)+ a)(x - a)= f(t(x - a)+ a,1/!(t))(x - a).
L'application hx : I x F ---> F, hx (t, y) = f ( t(x - a) +a, y) (x - a), est donc telle que pour tout t E J,
1/! 1 ( t) = hx ( t, 1/J( t)). De plus 1/J(O) = t.p( a) = b. Remarquons également que l'application hx est de classe
C 1 car composée de telles applications. L'application 1/J est donc la solution maximale (puisque définie sur J) de
l'équation différentielle y' ( t) = hx ( t, y( t)) vérifiant la donnée de Cauchy (0, a). L'unicité d'une telle solution
maximale résulte du théorème d'existence et d'unicité 2.10. Or 1/J(l) = t.p(x ). Ceci prouve l'existence d'au plus
une application

2 c) Supposons qu'il existe deux applications V= { x E U ; fermé {O} de IR par l'application continue un voisinage ouvert convexe n de a, n C U. En raisonnant comme dans 2 b en remplaçant a par a et U par n,
on montre l'existence, pour chaque x En, d'une unique application 1/Jx telle que 1/Jx(l) = ce qui prouve que n c V. L'ouvert U étant connexe, on a nécessairement V= U, donc qu'il existe au plus une application

Solution V.5.
1) Soit f : JR 2 ---> lR l'application f(x, y) = (x - y)y + 1. L'application f est continue sur IR 2 et
n = 1- 1 (JO, +oo[), donc n est unouvertdelR 2 . Lafrontièredenestlacourbedupland'équation f(x, y) =O.
C'est une hyperbole ayant pour asymptotes les droites d'équations y = 0 et y = x. L'ouvert n est la partie de
IR 2 compris entre les deux branches de cette hyperbole.
2 a) L'équation différentielle
y'(x) = J (x - y(x) )y(x) + 1 - 1
est de la forme y'(x) = F(x, y(x) ). où F : n ---> IR est l'application F(x, y) y'(x - y)y + 1 - 1.
L'application F est de classe C 00 sur n; elle vérifie les hypothèses théorème de Cauchy-Lipschitz 2.10. Pour
toute donnée de Cauchy (a, b) E n, il existe donc une unique solution maximale

donnée. Notons l =]a, ,B[ son intervalle de définition.
2 b) On remarque que la fonction nulle, définie sur lR entier, est solution de (*).Pour tout a E IR, c'est l'unique
solution maximale de (*)satisfaisant la donnée de Cauchy (a, 0).
2 c) On suppose b > O. D'après le théorème 2.10, le graphe de la solution maximale t.p vérifiant la donnée de
Cauchy (a, O) et le graphe de la solution nulle n'ont aucun point commun; donc pour tout x E J, t.p(x) i= O.
Mais

0 donc, pour tout x E J, on a t.p(x) > O.
2 d) On remarque que, pour tout (x, y) E n, (-x, -y) E net F(x, y) = F(-x, -y). On désigne toujours
par

J =]-,6,-a[ et'l/J: J--> IRlafonction'l/J(x) = - 1/J'(x) = t.p 1 (-x) = F(-x, ce qui prouve que 1/J est solution de ( *) sur J. De plus cette solution est maximale; si ce n'était pas le cas, elle
pourrait être prolongée en une application 1/!1 définie sur un intervalle Ji =] - /31, -a1 [ contenant J, et un