§ 6. Solutions
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calcul analogue au précédent montrerait que la solution

ne serait plus maximale. L'application ' l/J est donc la solution maximale de l'équation différentielle (*)telle que
'l/J(-a) = -b. On peut remarquer que les graphes de 3 a) Par hypothèse, 0 < b < a. Supposons que pour tout x E ]a, a[, on ait x ,_. pourtoutx E]a,a], 0 }.Pour
tout (x,y) En+, on a F(x,y) > 0 si X> y, F(x,y) = 0 si X= y et F(x,y) < 0 si X< y. Ainsi, pour
tout x E J a, a],

O. L'application

admet alors une limite l lorsque x tend vers a. Le bout gauche de

Le théorème 4.3 montre que (a, l) est élément de la frontière de n, c'est-à dire vérifie (a - l)l + 1 = 0, ce
qui est impossible.
Nous concluons qu'il existe un point t de l'intervalle ]a, a[ tel que 0, nous
avons nécessairement t > O.
3 b) On sait que

la tangente au graphe de

droite d'équation y= x au point d'abcisse t; en effet, la dérivée de l'application x >-+ négative (égale à -1) au point x = t. Cette fonction est donc strictement décroissante au voisinage du point
x = t. Ainsi, pour x voisin de t, on a x six< t et t.
Supposons que l'équation 1.p(t2) = t2. La partie A= { t E [t1, t2] ; \:lx E [t1, t], contient, d'après ce qui précède, un intervalle de la forme [t1, ti + ë], avec ë > O; il est majoré par t2; il admet
doncunebomesupérieurecvérifiantt1 < c::; t2.Alorspourtoutx E [t1,c], la continuité de

qui contredirait la définition de c. Donc même signe, soit x pour x < cassez voisin de c, ce qui est impossible.
Nous concluons que léquation 0, et que

x si x E ]a, t[,
et 3 c) Le raisonnement fait en 3 a montre que

x E ]a, t[ on a donc t. Le graphe de

d'équation y = t rencontre la frontière den au point ( a1, t) tel que ( a1 - t)t + 1 = 0 et, pour tout (x, y) E nt.
on a x > a1. Ceci implique que a ~ a1, donc que a > -oo.
Désignons par Yo: l'ordonnée positive du point d'intersection de la droite d'équation x = a avec la frontière
de n. L'application

x E ]a, t[, limite. Le bout gauche de

plus, O. On a donc lim., ...... o:

4 a) Par hypothèse, a < b et 0 < b. On montre comme en 3 a et 3 b qu'il existe un unique point t > 0 de
l'intervalle ]a, /3[ tel que - sur l'intervalle ]a, t[, l'application

x,
- sur l'intervalle Jt, /3[, l'application

4 b) Supposons f3 fini. Pour tout x E Jt, /3[, on a alors 0 < majorée, elle admet, lorsque x --+ /3, une limite notée singleton (/3, 1.p(/3)), ce qui est impossible car un tel point ne peut pas appartenir à la frontière den. On conclut
que/3 = +oo.
Supposons maintenant que sur ]t, +oo[, l'application

O. Étant croissante, cette
application admet une limite lorsque x --+ +oo. Dans ce cas, lim., ...... +oo

+oo, ce qui entraîne lim., ...... + 00 pas majorée; comme elle est croissante, lim., ...... +oo Solution V.6.