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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
1 a) Associons à l'équation différentielle d'ordre 3 dans lR

une équation différentielle d'ordre 1 à valeurs dans JR 3 . Soit f : lR x JR 3 --> JR 3 lapplication f ( t, ( x, y, z)) =
(y, z, xz). Soit I un intervalle ouvert de lR et

lR une application trois fois dérivable sur I. On lui associe
l'application cjJ : I --> JR 3 , cfl( t) = ( l'équation (*)si et seulement si c/J est solution sur Ide l'équation du premier ordre
cfl' ( t) = f ( t, cfl( t)) .
(E)
1 b) L'application f étant de classe C 00 sur lR x JR 3 , elle vérifie les hypothèses du théorème d'existence et
d'unicité globales 2.10; on peut donc affirmer l'existence et l'unicité d'une solution maximale c/J : I --> JR 3 de
léquation ( E) qui vérifie la donnée de Cauchy efJ( a) = (A, B, C). Il existe donc une unique solution maximale

lR de l'équation(*) qui satisfait les conditions initiales:
c,o(a) =A,

2) Soit (J, c,o) une solution maximale de (*).Elle vérifie, pour tout t E J,

produit de deux applications dérivables, est dérivable sur I et a pour dérivée au point t
Elle est donc constante sur I et a pour valeur

Si

0,

Si c,o" (a) < 0,

Si c,o"(a) = 0, l'application

définie sur IR, donc maximale.
3 a) Chacune des applications c,o et 1/J étant définie sur un intervalle ouvert contenant a, il esiste b > a tel que et 1/J soient définies sur [a, b[.
3 b) Puisque 1/J" (a) = 0, l'application 1/J est, d'après 2, définie sur lR par 1/J( t) = 1/J' (a) ( t - a) + 1/J( a). Ainsi
1/J" =o.
Si

t 2: a, 1/J'(a)(t - a)+ 1/J(a):::;

Si c,o" (a) of. 0, alors

0 et, en utilisant 2, pour tout t E (a, b[,

0, ce qui entraîne, par deux
intégrations successives, que pour tout t E · [a, b[, O. On obtient alors, toujours
pourtout t E [a, b[, 1/J(t) = 1/J'(a)(t - a)+ 1/J(a):::;

On a établi que pourtout t E (a, b[, 4) Avec les hypothèses faites, l'ensemble K = { t E [a, b[ ; Vu E [a, t], 1/J(u):::; lR non vide (il contient a), majoré par b. Il admet donc une borne supérieure c = sup K qui vérifie a :::; c :::; b.
4 a) Les hypothèses précédentes et les résultats de 2 entraînent que 1/J" > 0 et que

0 sur [a, b[ . L'application
Il
8 = 'f_ est donc bien définie sur cet intervalle. Elle est dérivable et on a
1/J"
8' = ip'" 1/J" - 1/J"' ( 1/J" )2
1/J"