§ 6. Solutions
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donc 8' est du signe de cp - 1/J. Or, si t E [a, c(, cp( t) ?:: 1/J( t); l'application 8 est donc croissante sur [a, c( ; en
particulier, pour t E [a, c(, 1 S 8( a) S 8( t ), ce qui entraîne 1/J" ( t) S cp" ( t). On obtient alors successivement,
pour tout t E (a, c(,
1/J'(t) = 1/J'(a) + 1t 1/J"(u) du S cp'(a) + 1t cp"(u) du= cp'(t),
1/J(t) = 1/J(a) + 1t 1/J'(u) du S cp(a) + 1t cp'(u) du= cp(t).
4 b) Supposons d'abord que a < c < b. Les applications cp et 1/J sont continues en cet vérifient, pour tout
t E [a, c(, 1/J(t) s cp(t). Cette inégalité est donc conservée par passage à la limite quand t tend vers c, t < c,
ce qui donne 1/J(c) s cp(c). Si on avait 1/J(c) < cp(c), la continuité de cp et 1/J en c entraînerait l'existence d'un
réel€ > 0 tel que c + € E (a, b[ et, pour tout t E (c, c + i;], 1/J(t) S cp(t). On aurait alors c + i; E K, en
contradiction avec la définition de c. Donc cp(c) = 1/J(c).
En utilisant l'inégalité, démontrée en 4 a, 1/J'(t) S cp'(t) pour tout t E (a, c(. on obtient, dans les mêmes
conditions,
1/J(c) - 1/J(t) =le 1/J'(u) du S le cp 1 (u) du= cp(c) - cp(t),
ce qui entraîne 1/J(t) ?:: cp(t) et donc finalement 1/J(t) = cp(t). Les applications (1/J, 1/J', 1/J") et (cp, cp', cp") sont
deux solutions maximales de l'équation différentielles (E) qui coïncident sur l'intervalle non vide [a, c(, elles
sont donc égales (voir 2.10) et par suite, cp = 1/J, ce qui contredit l'hypothèse a < c < b.
Supposons maintenant que c = a. On sait, par hypothèse, que 1/J(a) S cp(a). On montre, comme dans le cas
précédent, en utilisant la continuité des applications 1/J et cp, que 1/J(a) = cp(a). La formule de Taylor à l'ordre
2 donne, pour t E (a, b[,
(t a) 2
1/J(t) - cp(t) = (t- a)('l/J'(a) - cp'(a)) + - 2 (1/J"(a) - cp"(a)) + o((t- a) 2 ).
On sait que 1/J'(a) s cp'(a). Si l'on avait 1/J'(a) < cp'(a), 1/J(t) - cp(t) serait, pour t E [a, b[ assez voisin de a,
du signe de (t-a) (' 1µ 1 (a)-cp'(a)); il existerait donc un réel e > 0 tel que a+e E [a, b[ et, pourt E (a, a+ê].
1/J(t) s cp(t); on aurait alors a+ e E K, ce qui contredirait la définition de c. Donc 1/J' (a) = cp' (a).
On montre de la même manière que 1/J" (a) = cp" (a).
Les applications ( 1/J, 1/J', 1/J") et ( cp, cp', cp") sont deux solutions maximales de l'équation différentielle ( E) qui
prennent la même valeur au point a; elles sont donc égales (voir 2.10) et par suite, cp = 1/J, ce qui contredit
l'hypothèse a = c.
On obtient en définitive c = b
5 a) L'application t >--+ 1/J(t) = 3(a - t)- 1 est définie sur la réunion des intervalles] ~ oo, a( et ]a, +oo[.
En calculant ses dérivées, on vérifie que sa restriction à chacun de ces intervalles est solution de l'équation
différentielle ( *).
5 b) On désigne par {3 la borne supérieure, finie ou infinie, de l'intervalle de définition de cp. On désigne encore par
1/J l'application, définie sur ]-oo, a(, 1/J(t) = 3(a-t)- 1 , où a est une constante choisie de telle sorte que a < a,
1/J(a) SA, 1/J'(a) S B, 1/J"(a) SC. Autrement dit, a> sup{ a+ 3/A, a+ 3/ B 1 1 2 , a+ 6/C 3 1 2 }.
On pose b = inf( a, f3). Les applications 1/J et cp sont deux solutions maximales de l'équation ( *) qui vérifient
les conditions 1/J(a) S cp(a), 1/J'(a) S cp'(a), 0 < 1/J"(a) S cp"(a). D'après 4, pour tout t E (a,b(,
1/J"(t) s cp"(t), 1/J'(t) s cp'(t), 1/J(t) s cp(t).
Si on avait b = a < {3, alors a E (a, !3[ et limt->oc, t
Les applications 1/J, 1/J' et 1/J" étant strictement positives sur [a, b[, les applications cp, cp' et cp" le sont également.
De plus cp"' = cpcp", ce qui prouve que cp"' est aussi strictement positive. Les applications cp, cp' et cp" sont
donc strictement croissantes.
Supposons que cp 11 soit majorée sur [a,b[ par un réel M. Alors pour tout t E (a,b(, cp'(t) = cp'(a) +
J: cp" (u) du S B + M(b- a), ce qui prouve que cp' est majorée sur [a, b[. Un raisonnement analogue prouve
que cp est majorée sur (a, b[. Ces trois applications étant croissantes et majorées, elles ont une limite en b. La
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donc 8' est du signe de cp - 1/J. Or, si t E [a, c(, cp( t) ?:: 1/J( t); l'application 8 est donc croissante sur [a, c( ; en
particulier, pour t E [a, c(, 1 S 8( a) S 8( t ), ce qui entraîne 1/J" ( t) S cp" ( t). On obtient alors successivement,
pour tout t E (a, c(,
1/J'(t) = 1/J'(a) + 1t 1/J"(u) du S cp'(a) + 1t cp"(u) du= cp'(t),
1/J(t) = 1/J(a) + 1t 1/J'(u) du S cp(a) + 1t cp'(u) du= cp(t).
4 b) Supposons d'abord que a < c < b. Les applications cp et 1/J sont continues en cet vérifient, pour tout
t E [a, c(, 1/J(t) s cp(t). Cette inégalité est donc conservée par passage à la limite quand t tend vers c, t < c,
ce qui donne 1/J(c) s cp(c). Si on avait 1/J(c) < cp(c), la continuité de cp et 1/J en c entraînerait l'existence d'un
réel€ > 0 tel que c + € E (a, b[ et, pour tout t E (c, c + i;], 1/J(t) S cp(t). On aurait alors c + i; E K, en
contradiction avec la définition de c. Donc cp(c) = 1/J(c).
En utilisant l'inégalité, démontrée en 4 a, 1/J'(t) S cp'(t) pour tout t E (a, c(. on obtient, dans les mêmes
conditions,
1/J(c) - 1/J(t) =le 1/J'(u) du S le cp 1 (u) du= cp(c) - cp(t),
ce qui entraîne 1/J(t) ?:: cp(t) et donc finalement 1/J(t) = cp(t). Les applications (1/J, 1/J', 1/J") et (cp, cp', cp") sont
deux solutions maximales de l'équation différentielles (E) qui coïncident sur l'intervalle non vide [a, c(, elles
sont donc égales (voir 2.10) et par suite, cp = 1/J, ce qui contredit l'hypothèse a < c < b.
Supposons maintenant que c = a. On sait, par hypothèse, que 1/J(a) S cp(a). On montre, comme dans le cas
précédent, en utilisant la continuité des applications 1/J et cp, que 1/J(a) = cp(a). La formule de Taylor à l'ordre
2 donne, pour t E (a, b[,
(t a) 2
1/J(t) - cp(t) = (t- a)('l/J'(a) - cp'(a)) + - 2 (1/J"(a) - cp"(a)) + o((t- a) 2 ).
On sait que 1/J'(a) s cp'(a). Si l'on avait 1/J'(a) < cp'(a), 1/J(t) - cp(t) serait, pour t E [a, b[ assez voisin de a,
du signe de (t-a) (' 1µ 1 (a)-cp'(a)); il existerait donc un réel e > 0 tel que a+e E [a, b[ et, pourt E (a, a+ê].
1/J(t) s cp(t); on aurait alors a+ e E K, ce qui contredirait la définition de c. Donc 1/J' (a) = cp' (a).
On montre de la même manière que 1/J" (a) = cp" (a).
Les applications ( 1/J, 1/J', 1/J") et ( cp, cp', cp") sont deux solutions maximales de l'équation différentielle ( E) qui
prennent la même valeur au point a; elles sont donc égales (voir 2.10) et par suite, cp = 1/J, ce qui contredit
l'hypothèse a = c.
On obtient en définitive c = b
5 a) L'application t >--+ 1/J(t) = 3(a - t)- 1 est définie sur la réunion des intervalles] ~ oo, a( et ]a, +oo[.
En calculant ses dérivées, on vérifie que sa restriction à chacun de ces intervalles est solution de l'équation
différentielle ( *).
5 b) On désigne par {3 la borne supérieure, finie ou infinie, de l'intervalle de définition de cp. On désigne encore par
1/J l'application, définie sur ]-oo, a(, 1/J(t) = 3(a-t)- 1 , où a est une constante choisie de telle sorte que a < a,
1/J(a) SA, 1/J'(a) S B, 1/J"(a) SC. Autrement dit, a> sup{ a+ 3/A, a+ 3/ B 1 1 2 , a+ 6/C 3 1 2 }.
On pose b = inf( a, f3). Les applications 1/J et cp sont deux solutions maximales de l'équation ( *) qui vérifient
les conditions 1/J(a) S cp(a), 1/J'(a) S cp'(a), 0 < 1/J"(a) S cp"(a). D'après 4, pour tout t E (a,b(,
1/J"(t) s cp"(t), 1/J'(t) s cp'(t), 1/J(t) s cp(t).
Si on avait b = a < {3, alors a E (a, !3[ et limt->oc, t
Les applications 1/J, 1/J' et 1/J" étant strictement positives sur [a, b[, les applications cp, cp' et cp" le sont également.
De plus cp"' = cpcp", ce qui prouve que cp"' est aussi strictement positive. Les applications cp, cp' et cp" sont
donc strictement croissantes.
Supposons que cp 11 soit majorée sur [a,b[ par un réel M. Alors pour tout t E (a,b(, cp'(t) = cp'(a) +
J: cp" (u) du S B + M(b- a), ce qui prouve que cp' est majorée sur [a, b[. Un raisonnement analogue prouve
que cp est majorée sur (a, b[. Ces trois applications étant croissantes et majorées, elles ont une limite en b. La