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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
solution maximale f introduite en 1 a (voir théorème 4.1 ), qui est vide. Ceci prouve que cp" n'est pas majorée sur [a, b[ donc que
limt-.b cp(t) = +oo.
Solution V. 7.
1) L'application N est une norme sur E1. En effet, six E E1 vérifie N(x) = 0, alors x' est nulle sur [O, 1), donc
x est constante et pour tout t E [O, 1), x(t) = x(O) =O. L'application x est donc nulle. Les autres propriétés
d'une norme se déduisent immédiatement des propriétés de la valeur absolue.
Soit (xn, n E N) une suite dans (E1 ), de Cauchy pour la norme N. La suite (x~, n E N) est alors, par
définition de la norme N, une suite de Cauchy dans l'espace complet E des applications continues de [O, 1]
vers lR muni de la norme de la convergence uniforme. Elle converge donc dans cet espace vers une application
continue y. Soit alors x lélément de E1 défini par x(t) = 1; y(u) du. Alors, toujours par définition de N, pour
tout n EN, llx~ - Yll = llx~ - x'll = N(xn - x). Ainsi, la suite (xn, n E N) converge vers x dans E1
pour la norme N. L'espace E1 est donc complet pour cette norme.
2) L'application cp : E 1 --+ E, cp' (x) = x' + x 2 , est la somme de cp1 : x ,_. x' et de L'application 'Pl est linéaire, continue car, pour tout x E E1, llcp1(x)ll = llx'll = N(x). Elle est donc de
classe C 1 et en tout point x E E1, et Dcp1 (x) = L'application de E1 dans EX E muni de la norme ll(x, y)ll = sup(llxll, llYll), est linéaire continue car, pour tout x E Ei.
ll(x, x)ll = llxll S N(x). On remarque en effet que pourtoutx E E1 et tout t E [O, 1), x(t) = 1; ( x' (u)) du,
ce qui entraîne llxll S N(x). Quant à l'application (x, y) ,_. xy, de Ex E dans E, elle est bilinéaire continue,
car pour tout couple (x, y) E Ex E, llxyll S llxll llYll· L'application au point x est l'application linéaire, élément de .C(E1, E), h ,_. Dcp2(x)(h) = 2xh.
Ainsi, cp est de classe C 1 et, pour tous x eth E Ei. Dcp(x )(h) = h' + 2xh.
3) Soit y E E. On cherche à résoudre l'équation cp(x) = y, d'inconnue x E E1. L'application cp est de classe
C 1 sur E1. De plus, Dcp(O) : h ,_. h' est une application bijective, donc un isomorphisme de E sur E1. Cette
application vérifie les hypotèses du théorème d'inversion locale 11.2.4. Aussi, il existe un voisinage ouvert U de
0 dans E1 tel que V = cp(U) soit un ouvert de E et que cp soit un C 1 -difféomorphisme de U sur V. Un élément
y de V a donc dans U un unique antécédent f par l'application cp. Cet élément f de E1 est l'unique solution
appartenant à U de l'équation différentielle
x'(t) = -x 2 (t) + y(t).
Il resta à prouver que cette équation n'a pas d'autre solution appartenant E1.
On suppose y E V. L'application y est définie et continue sur [O, 1) et peut être prolongée en une application
continue YI sur JR. Associons-lui l'équation différentielle
x'(t) = -x 2 (t) + y1(t).
Une solution de l'équation différentielle ( **) est solution de léquation différentielle ( *) si et seulement si son
intervalle de définition est contenu dans [O, 1).
L'application F : lR x lR --+ JR, F(t, x) = -x 2 +Y1 (t), est continue et admet une dérivée partielle continue par
rapport à sa seconde variable x. Elle vérifie les conditions d'application du théorème de Cauchy-Lipschitz 2.10.
L'équation différentielle ( **) possède donc une unique solution maximale satisfaisant la donnée de Cauchy
(0, 0). Or tout élément de E1 solution de ( *) est solution de ( **) sur l'intervalle [O, 1) et vérifie la donnée de
Cauchy (0,0), donc est la restriction à [O, 1) de l'unique solution maximale précédente. Ainsi, l'équation(*)
admet une et une seule solution appartenant à E1.
4) L'application g est composée d'applications différentiables, elle est donc différentiable et sa différentielle en
x vérifie, pour tout h E E1,
Dg(x)(h) = -( Dcp(O) f 1 o Dcp(x)(h) + h = -( Dcp(O) f 1 ( h' + 2xh) + h.
Or ( Dcp(O) )- 1 est linéaire et Dcp(O)(h) = h' donc Dg(x)(h) = -( Dcp(O) )- 1 ( 2xh).