§ 6. Solutions
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Onremarquequepourtoutf E Ei. (Dcp(0))- 1 (!') = f,doncqueN( (Dcp(O))-\f')) = N(f) = llf'llOn a alors N( Dg(x)(h)) = ll2xhll :::; 2llxll llhll :::; 2N(x)N(h), ce qui prouve que N ( Dg(x)) :::; 2N(x).
Soit B1 la boule fermée de centre l'origine et de rayon K/2. Si maintenant x E Bi. on obtient N ( Dg(x)) :::;
K < 1. En appliquant le théorème des accroissements finis entre deux points quelconques de Bi. on montre
alors que g est une application contractante sur la boule B1.
Supposons que llYll :::; (1/2)K(l - K), et établissons que g(Bi) C B1. En effet, six E Bi.
N(g(x)) = N( (Dcp(O))-I (y -x' -x 2 ) + x) = N( (Dcp(O))-I (y -x 2 )) = llY- x 2 ll
:::; llYll + llxll 2 :::; llYll + N(x) 2 :::; (1/2)K(l - K) + k 2 /4 < K/2,
donc g(x) E B1. L'application g est une application contractante de l'espace B1 dans lui même. Cet espace
est complet, car il est fermé dans l'espace complet E1. On peut alors appliquer à l'application g le théorème du
point fixe (voir par exemple [T.Vl.4.3]): il existe un unique élément f de B1 tel que g(f) = f, c'est-à-dire tel
que y = cp(f). On montre alors, comme dans la question précMente que, dès que llYll :::; (1/2)K(l - K),
l'équation(*) a une unique solution f E E1 vérifiant N(f) < K/2.
5) Soit a > O. On considèrel'équationdifférentiellex' (t)+x 2 (t) = -a 2 . On montre, comme dans la question 3,
à l'aide du théorème d'existence et d'unicité globales, que pour toute donnée de Cauchy (to, xo) E IR x JR,
cette équation différentielle admet une unique solution maximale vérifiant cette donnée de Cauchy. En résolvant
cette équation, on trouve que la solution maximale f telle que f(O) = 0 est f(t) = -a arctan(at), et a pour
intervalle de définition ]-7r /(2a), 7r /(2a) [. Pour que cet intervalle contienne l'intervalle (0, 1]. il est donc
nécéssaire de choisir a tel que a < 7r /2. Lorsque a 2: 7r /2, cette équation n'a donc aucune solution appartenant
àE1.
Solution V.8.
1) Pour t E IR fixé, l'intégrale J;"° F(s, 0) ds converge car d'après (i), sur l'intervalle [t, +oo[, la fonction
s,....... F(s, 0) est majorée en norme par la fonction intégrables,....... ae-Ns. De plus, on a la majoration
Par suite, X1(t) = - ft
00 F(O,s)ds est bien défini. On pose co = a/N. Puisque Xo = 0, l'inégalité
précédente exprime encore que llX1(t) - Xo(t)ll:::; coe-Nt.
Soit (ck' k E N) la suite de réels définie par Ck = ack N-(k+l). Supposons maintenant tous les termes xk
bien définis jusqu'au rang p par la relation de récurrence Xk+I (t) = - ft
00 F( s, Xk(s)) ds. Supposons de
plus que, pourtout entier k vérifiant 0 :::; k :::; p - 1, on ait Il Xk+l (t) - xk (t) Il :::; Cke-Nt. Compte tenu de
(ii), nous avons
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00
(F( s, Xp(s)) - F( s, Xp-1(s))) dsll :::; 1
00
llF( s, Xp(s)) - F( s, Xp-1 (s)) Il ds
:::;c 1
00
11Xp(s)-Xp- 1(s)ljds
:::; C 1
00 Cp-Ie-Ns ds
< c - C e-Nt = c e-Nt
-
P IN
P
On a ainsi prouvé que l'intégrale ft
00 (F(s,Xp(s)) - F(s,Xp-1(s))) ds est convergente. Puisque
ft
00 F(s,Xp-1(s))ds l'est aussi, en posant Xp+i(t) = -ft
00 F(s,Xp(s))ds, on définit bien une
application Xp+I. De plus, cette application est telle que llXp+I (t) - Xp(t) Il :::; epe-Nt.
La suite (Xk, k E N) est bien définie et, pour tout entier k, llXk+I (t) - Xk(t) Il :::; cke-Nt.
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Onremarquequepourtoutf E Ei. (Dcp(0))- 1 (!') = f,doncqueN( (Dcp(O))-\f')) = N(f) = llf'llOn a alors N( Dg(x)(h)) = ll2xhll :::; 2llxll llhll :::; 2N(x)N(h), ce qui prouve que N ( Dg(x)) :::; 2N(x).
Soit B1 la boule fermée de centre l'origine et de rayon K/2. Si maintenant x E Bi. on obtient N ( Dg(x)) :::;
K < 1. En appliquant le théorème des accroissements finis entre deux points quelconques de Bi. on montre
alors que g est une application contractante sur la boule B1.
Supposons que llYll :::; (1/2)K(l - K), et établissons que g(Bi) C B1. En effet, six E Bi.
N(g(x)) = N( (Dcp(O))-I (y -x' -x 2 ) + x) = N( (Dcp(O))-I (y -x 2 )) = llY- x 2 ll
:::; llYll + llxll 2 :::; llYll + N(x) 2 :::; (1/2)K(l - K) + k 2 /4 < K/2,
donc g(x) E B1. L'application g est une application contractante de l'espace B1 dans lui même. Cet espace
est complet, car il est fermé dans l'espace complet E1. On peut alors appliquer à l'application g le théorème du
point fixe (voir par exemple [T.Vl.4.3]): il existe un unique élément f de B1 tel que g(f) = f, c'est-à-dire tel
que y = cp(f). On montre alors, comme dans la question précMente que, dès que llYll :::; (1/2)K(l - K),
l'équation(*) a une unique solution f E E1 vérifiant N(f) < K/2.
5) Soit a > O. On considèrel'équationdifférentiellex' (t)+x 2 (t) = -a 2 . On montre, comme dans la question 3,
à l'aide du théorème d'existence et d'unicité globales, que pour toute donnée de Cauchy (to, xo) E IR x JR,
cette équation différentielle admet une unique solution maximale vérifiant cette donnée de Cauchy. En résolvant
cette équation, on trouve que la solution maximale f telle que f(O) = 0 est f(t) = -a arctan(at), et a pour
intervalle de définition ]-7r /(2a), 7r /(2a) [. Pour que cet intervalle contienne l'intervalle (0, 1]. il est donc
nécéssaire de choisir a tel que a < 7r /2. Lorsque a 2: 7r /2, cette équation n'a donc aucune solution appartenant
àE1.
Solution V.8.
1) Pour t E IR fixé, l'intégrale J;"° F(s, 0) ds converge car d'après (i), sur l'intervalle [t, +oo[, la fonction
s,....... F(s, 0) est majorée en norme par la fonction intégrables,....... ae-Ns. De plus, on a la majoration
Par suite, X1(t) = - ft
00 F(O,s)ds est bien défini. On pose co = a/N. Puisque Xo = 0, l'inégalité
précédente exprime encore que llX1(t) - Xo(t)ll:::; coe-Nt.
Soit (ck' k E N) la suite de réels définie par Ck = ack N-(k+l). Supposons maintenant tous les termes xk
bien définis jusqu'au rang p par la relation de récurrence Xk+I (t) = - ft
00 F( s, Xk(s)) ds. Supposons de
plus que, pourtout entier k vérifiant 0 :::; k :::; p - 1, on ait Il Xk+l (t) - xk (t) Il :::; Cke-Nt. Compte tenu de
(ii), nous avons
111
00
(F( s, Xp(s)) - F( s, Xp-1(s))) dsll :::; 1
00
llF( s, Xp(s)) - F( s, Xp-1 (s)) Il ds
:::;c 1
00
11Xp(s)-Xp- 1(s)ljds
:::; C 1
00 Cp-Ie-Ns ds
< c - C e-Nt = c e-Nt
-
P IN
P
On a ainsi prouvé que l'intégrale ft
00 (F(s,Xp(s)) - F(s,Xp-1(s))) ds est convergente. Puisque
ft
00 F(s,Xp-1(s))ds l'est aussi, en posant Xp+i(t) = -ft
00 F(s,Xp(s))ds, on définit bien une
application Xp+I. De plus, cette application est telle que llXp+I (t) - Xp(t) Il :::; epe-Nt.
La suite (Xk, k E N) est bien définie et, pour tout entier k, llXk+I (t) - Xk(t) Il :::; cke-Nt.