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Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
2) Soit I un intervalle compact de JR. Soit t E /, k et p deux entiers. On a, puisque ( ck) est une suite géométrique
de raison C/N,
p-1
p-1
l!xk+p(t) - Xk(t)ll $ ~.]lxk+1+i(t) - Xk+i(t)ll $ L ck+ie-Nt
i=O
i=O
< ___ _ e-Nt < ___ _
a
(c)k
a
(c)k
- N-C N
- N-C N
'
ce qui prouve que la suite (Xk) est de Cauchy dans l'espace C(I, lRn) des applications continues de I dans !Rn
muni de la norme de la convergence uniforme. Cet espace étant complet, la suite (X k) converge uniformément
vers une fonction XI définie sur /. De plus, en choisissant k = 0 dans les inégalités précédentes, on a
llXp(t)ll $ (a/(N - C))e-Nt, soit encore lleNtxp(t)ll $ (a/(N - c)). Par passage à la limite
lorsque p tend vers +oo, on obtient lleNt XI(t) Il $ ( a/(N - C)).
Soit X lapplication, définie sur JR, qui coïncide avec XI sur chaque intervalle compact I. Des égalités
Xk+l (t) = - ft
00 F( s, Xk(s)) ds on déduit, par dérivation (justifiée par la propriété 2.4.g), Xk+l (t) =
F( t, Xk(t)). De plus, compte tenu de (ii), Il xk+p+l (t) - xk+l (t) Il $ 011 Xk+p(t) - Xk(t) Il · Les suites
(Xk) et (Xk) converge donc uniformément sur tout intervalle compact /, par suite (voir le corallaire 1.5.9)
l'application' X est dérivable et sa dérivée X' est la limite de la suite (Xk). On obtient finalement, en utilisant
l'égalité Xk+l ( t) = F ( t, Xk ( t)) et la continuité de F, X' ( t) = F ( t, X ( t)).
On a montré que la suite (Xk) converge uniformément sur tout intervalle compact de IR vers X, solution de
l'équation différentielle X'(t) = F( t, X(t)), et que l'application t ,_. eNt X(t) est bornée par a/(N - C)
sur JR.
3) Supposons qu'il existe une autre solution Y de (E) telle que t ,_. eNtY(t) soit bornée. Des égalités
X'(t) = F(t, X(t)) et Y'(t) = F(t, Y(t)), on déduit, en utilisant (ii),
l!x'(t) - Y'(t)ll $ cl!X(t) - Y(t)ll:::; C(a + f3)e-Nt,
où l'on a posé a = suptEIRlleNtX(t)ll et (3 = suptEIRlleNty(t)ll· En appliquant le théorème des
accroissements finis à l'application X - Y entre les points 0 et t, on obtient
llx(t) -Y(t) - ( X(O) - Y(O)) I l : : : ; C(a + f3)1tle-Nt,
d'où on déduit
llX(O) - Y(o)ll $ llX(t) - Y(t)ll + C(a + f3)1tle-Nt $(a+ (3)(1 + Cltl)e-Nt.
En prenant la limite des deux membres lorsque t tend vers oo, on obtient X (O) = Y(O). Ainsi, X et Y sont deux
solutions de (E) satisfaisant la même donnée de Cauchy. Le théorème d'existence et d'unicité globales 2.10
s'applique et montre que X= Y. La solution X de (E) telle que t ,_. eNt X(t) soit bornée est donc unique.
4) L'équation ( E) peut avoir une solution Y distincte de X ayant pour limite 0 lorsque t tend vers +oo. En voici
un exemple.
Soit F : JR 2 --+ lR la fonction F(t, X) = e-t - CX, où C est un réel vérifiant 0 < C < 1. L'application F
satisfait aux conditions (i) et (ii) (prendre a= N = 1). L'équation (E) s'écrit X' (t) = -CX(t) + e-t. C'est
une équation linéaire dont la solution générale, définie sur JR, dépendant d'une constante arbitraire ,\ E JR, est
-t
Chapitre V. Équations différentielles; le problème de Cauchy
2) Soit I un intervalle compact de JR. Soit t E /, k et p deux entiers. On a, puisque ( ck) est une suite géométrique
de raison C/N,
p-1
p-1
l!xk+p(t) - Xk(t)ll $ ~.]lxk+1+i(t) - Xk+i(t)ll $ L ck+ie-Nt
i=O
i=O
< ___ _ e-Nt < ___ _
a
(c)k
a
(c)k
- N-C N
- N-C N
'
ce qui prouve que la suite (Xk) est de Cauchy dans l'espace C(I, lRn) des applications continues de I dans !Rn
muni de la norme de la convergence uniforme. Cet espace étant complet, la suite (X k) converge uniformément
vers une fonction XI définie sur /. De plus, en choisissant k = 0 dans les inégalités précédentes, on a
llXp(t)ll $ (a/(N - C))e-Nt, soit encore lleNtxp(t)ll $ (a/(N - c)). Par passage à la limite
lorsque p tend vers +oo, on obtient lleNt XI(t) Il $ ( a/(N - C)).
Soit X lapplication, définie sur JR, qui coïncide avec XI sur chaque intervalle compact I. Des égalités
Xk+l (t) = - ft
00 F( s, Xk(s)) ds on déduit, par dérivation (justifiée par la propriété 2.4.g), Xk+l (t) =
F( t, Xk(t)). De plus, compte tenu de (ii), Il xk+p+l (t) - xk+l (t) Il $ 011 Xk+p(t) - Xk(t) Il · Les suites
(Xk) et (Xk) converge donc uniformément sur tout intervalle compact /, par suite (voir le corallaire 1.5.9)
l'application' X est dérivable et sa dérivée X' est la limite de la suite (Xk). On obtient finalement, en utilisant
l'égalité Xk+l ( t) = F ( t, Xk ( t)) et la continuité de F, X' ( t) = F ( t, X ( t)).
On a montré que la suite (Xk) converge uniformément sur tout intervalle compact de IR vers X, solution de
l'équation différentielle X'(t) = F( t, X(t)), et que l'application t ,_. eNt X(t) est bornée par a/(N - C)
sur JR.
3) Supposons qu'il existe une autre solution Y de (E) telle que t ,_. eNtY(t) soit bornée. Des égalités
X'(t) = F(t, X(t)) et Y'(t) = F(t, Y(t)), on déduit, en utilisant (ii),
l!x'(t) - Y'(t)ll $ cl!X(t) - Y(t)ll:::; C(a + f3)e-Nt,
où l'on a posé a = suptEIRlleNtX(t)ll et (3 = suptEIRlleNty(t)ll· En appliquant le théorème des
accroissements finis à l'application X - Y entre les points 0 et t, on obtient
llx(t) -Y(t) - ( X(O) - Y(O)) I l : : : ; C(a + f3)1tle-Nt,
d'où on déduit
llX(O) - Y(o)ll $ llX(t) - Y(t)ll + C(a + f3)1tle-Nt $(a+ (3)(1 + Cltl)e-Nt.
En prenant la limite des deux membres lorsque t tend vers oo, on obtient X (O) = Y(O). Ainsi, X et Y sont deux
solutions de (E) satisfaisant la même donnée de Cauchy. Le théorème d'existence et d'unicité globales 2.10
s'applique et montre que X= Y. La solution X de (E) telle que t ,_. eNt X(t) soit bornée est donc unique.
4) L'équation ( E) peut avoir une solution Y distincte de X ayant pour limite 0 lorsque t tend vers +oo. En voici
un exemple.
Soit F : JR 2 --+ lR la fonction F(t, X) = e-t - CX, où C est un réel vérifiant 0 < C < 1. L'application F
satisfait aux conditions (i) et (ii) (prendre a= N = 1). L'équation (E) s'écrit X' (t) = -CX(t) + e-t. C'est
une équation linéaire dont la solution générale, définie sur JR, dépendant d'une constante arbitraire ,\ E JR, est
-t
.(t) = >.e-Ct - _e __ .
1-C
Pour,\= 0, la solution Xo obtenue est telle que et Xo(t) soit bornée sur IR par par 1/(1 - C). Par contre, pour
,\ # 0, on a bien limt_,+ 00 IX>. (t) 1 = 0, mais limt_,+ 00 let X>. (t) 1 = +oo.