Chapitre VI
Le flot d'une équation différentielle
Soit E un espace de Banach réel, n un ouvert de ffi: x E et f une application continue
de n dans E, localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable. Le théorème
d'existence et d'unicité V.2.10 est applicable à l'équation différentielle
cp'(t) = f(t,cp(t))'
(1)
et montre que pour toute donnée de Cauchy (t0 , x 0 ) E n, il existe une solution maximale
unique t t---t 'P(to,xo) (t) de cette équation vérifiant cette donnée de Cauchy. Le flot de
l'équation différentielle ( 1 ), que nous étudions dans le présent chapitre, est tout simplement
l'application (t, to, xo) t---t 'P(to,xo) (t). Ce concept, qui permet de regrouper en une seule
application toutes les solutions maximales de l'équation (1), est d'une grande importance
pour l'étude des propriétés globales de l'ensemble de ces solutions. Il joue un rôle
central dans les développements actuels des mathématiques tels que l'étude des systèmes
dynamiques.
Après un paragraphe préliminaire dans lequel nous établissons certaines inégalités utiles,
nous définissons formellement le flot d'une équation différentielle, et nous établissons
ses principales propriétés, notamment les règles de composition qu'il satisfait. Nous
introduisons aussi le concept de flot réduit, mieux adapté au cas des équations différentielles
autonomes. Nous prouvons que le flot (ou le flot réduit) est une application continue
et localement lipschitzienne (c'est le résultat essentiel de ce chapitre, et celui dont
la démonstration est la plus délicate). Après une rapide étude des propriétés du flot
des équations différentielles qui dépendent d'un paramètre, nous prouvons que lorsque
l'application différentielle f est différentiable de classe CP, le flot de l'équation(l) est
différentiable de classe CP.
1. Inégalités vérifiées par les solutions d'une équation différentielle
Nous allons établir dans le présent paragraphe cetaines inégalités importantes vérifiées
par les solutions d'une équation différentielle (ou d'une inéquation différentielle). Elles
nous permettront de montrer que dans les hypothèses du théorème d'existence et
d'unicité V.2.10, les solutions maximales d'une équation différentielle dépendent de
manière continue de la donnée de Cauchy.
Nous considérons d'abord le cas d'applications à valeurs scalaires.
1.1. Lemme. -
Soient D un. ouvert de IH: 2 , f : n ----) IH: une application continue,
et '!jJ : I ----) IH: une sôlution de l'équation différentielle
'l/J'(t) = f(t,'l/;(t))'
définie sur un intervalle ouvert I de R Soit d'autre part [a, b[ un intervalle semiouvert contenu dans I, et cp : [a, b[----) ffi: une application continue, vérifiant les
conditions suivantes :
Le flot d'une équation différentielle
Soit E un espace de Banach réel, n un ouvert de ffi: x E et f une application continue
de n dans E, localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable. Le théorème
d'existence et d'unicité V.2.10 est applicable à l'équation différentielle
cp'(t) = f(t,cp(t))'
(1)
et montre que pour toute donnée de Cauchy (t0 , x 0 ) E n, il existe une solution maximale
unique t t---t 'P(to,xo) (t) de cette équation vérifiant cette donnée de Cauchy. Le flot de
l'équation différentielle ( 1 ), que nous étudions dans le présent chapitre, est tout simplement
l'application (t, to, xo) t---t 'P(to,xo) (t). Ce concept, qui permet de regrouper en une seule
application toutes les solutions maximales de l'équation (1), est d'une grande importance
pour l'étude des propriétés globales de l'ensemble de ces solutions. Il joue un rôle
central dans les développements actuels des mathématiques tels que l'étude des systèmes
dynamiques.
Après un paragraphe préliminaire dans lequel nous établissons certaines inégalités utiles,
nous définissons formellement le flot d'une équation différentielle, et nous établissons
ses principales propriétés, notamment les règles de composition qu'il satisfait. Nous
introduisons aussi le concept de flot réduit, mieux adapté au cas des équations différentielles
autonomes. Nous prouvons que le flot (ou le flot réduit) est une application continue
et localement lipschitzienne (c'est le résultat essentiel de ce chapitre, et celui dont
la démonstration est la plus délicate). Après une rapide étude des propriétés du flot
des équations différentielles qui dépendent d'un paramètre, nous prouvons que lorsque
l'application différentielle f est différentiable de classe CP, le flot de l'équation(l) est
différentiable de classe CP.
1. Inégalités vérifiées par les solutions d'une équation différentielle
Nous allons établir dans le présent paragraphe cetaines inégalités importantes vérifiées
par les solutions d'une équation différentielle (ou d'une inéquation différentielle). Elles
nous permettront de montrer que dans les hypothèses du théorème d'existence et
d'unicité V.2.10, les solutions maximales d'une équation différentielle dépendent de
manière continue de la donnée de Cauchy.
Nous considérons d'abord le cas d'applications à valeurs scalaires.
1.1. Lemme. -
Soient D un. ouvert de IH: 2 , f : n ----) IH: une application continue,
et '!jJ : I ----) IH: une sôlution de l'équation différentielle
'l/J'(t) = f(t,'l/;(t))'
définie sur un intervalle ouvert I de R Soit d'autre part [a, b[ un intervalle semiouvert contenu dans I, et cp : [a, b[----) ffi: une application continue, vérifiant les
conditions suivantes :