gauche Alors, pour tout t E [a, b[,
Preuve : Considérons l'ensemble
V= { t E [a,b[; Vu E [a, t], cp(u) < 7/J(u)}.
C'est un ensemble non vide (il contient a). Clairement, si t appartient à V, l'intervalle [a, t]
est contenu dans V. Donc V est un intervalle de la forme [a, c), contenant son extrémité
gauche a (nous ne précisons pas encore s'il contient ou non son extrémité droite c). Nous
voulons montrer que c = b. Supposons donc c < b. Si nous avions cp(c) < 7/J(c), la
continuité des fonction cp et 7f; impliquerait l'existence d'un réel e > 0 tel que, pour tout
t E [ c, c + e [, cp( t) < 7f; ( t). L'intervalle [ c, c + e [ serait contenu dans V, ce qui contredirait
la définition de c. Donc cp( c) 2: 7/J( c). En particulier c f; a. Maintenant, en tout point t de
l'intervalle non vide [a, c[, nous avons et 7/J, Pour a :::; t < c, nous avons
cp(t) - 'lj;(t) - 7/J(c)
--'--'---~--'--- <
.
c-t
c-t
En faisant tendre t vers c par valeurs inférieures, nous en déduisons
-cp~(c):::; -7/J'(c),
ou
cp~ ( c) 2: 7/J' ( c) .
Puisque c E ]a, b[ et que cp(c) = 7/J(c), nous avons l'inégalité
Ayant abouti à une contradiction, nous avons prouvé par l'absurde que c = b, donc que
V= [a, b[, c'est-à-dire que pour tout t E [a, b[, D
1.2. Corollaire. -
Soient 0 un ouvert de IR 2 , f : 0 ~ lR et g : 0 ~ lR
deux applications continues de 0 dans IR, cp : I ~ lR une solution de l'équation
différentielle
7f; : I ~ lR une solution de l'équation différentielle
7/J' (t) = g(t, 'lj;(t)) '
définies toutes deux sur le même intervalle ouvert I de R Soit a un point de I.
On suppose que cp, 7/J, f et g satisfont les conditions suivantes :
(i) cp(a) = 'lj;(a);
(ii) pour tout (t, x) E 0, f(t, x) < g(t, x).
Alors, pour tout t E In ]a, +oo[,
cp(t) < 'lj;(t).