§ 1. Inégalités vérifiées par les solutions d'une équation différentielle
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Preuve : Nous avons, pour t E I, t > a,
'1/J(t) - cp(t) = ('1/J'(a) - cp'(a)) (t - a)+ lt - al11(t - a)
= (g(a,'ljJ(a))-f(a,cp(a)))(t-a)+lt-al11(t-a),
où la fonction 17 vérifie limt ...... a, t>a 17(t - a) = O. Compte tenu de '1/J(a) = cp(a), et de
l'inégalité f(t, x) < g(t, x) pour tout (t, x) E n, cela prouve que pour t > a et t - a
assez petit, '1/J(t) - cp(t) > O. Nous pouvons alors appliquer la proposition précédente sur
un intervalle de la forme [a+ E:, b[, avec E: > 0 assez petit.
D
1.3. Lemme. - Soient E un espace vectoriel normé, a et b deux éléments de E.
L'application de lR dans lui-même: t f--7 N(t) = lit a+ bll, est dérivable à gauche et
à droite en 0 (mais pas nécessairement dérivable!). De plus, ses dérivées à droite
et à gauche en 0 vérifient
N~(O) S llall ·
Preuve : La propriété étant trivialement vraie pour a = 0, nous supposons a f:. O. Nous
démontrons, par exemple, la dérivabilité à gauche. Soient u et t deux réels vérifiant
u < t < O. L'inégalité triangulaire donne:
tllua + bll - ullta + bll = -lltua + tbll + lluta + ubll S ll(u - t) bll = (t- u) llbll,
ce qui s'écrit
t(llua + bll - llbll) S u(llta + bll - llbll) ·
Posons, pour t < 0,
f(t) = N(t) - N(O) = lit a+ bll - llbll .
t
t
En divisant l'inégalité ci-dessus par le réel positif ut, nous voyons que la fonction f est
croissante. Par ailleurs nous avons, puisque t < 0,
f(t) = -lita+ bll + llbll < lltall = llall ·
ltl
- ltl
La fonction f a donc une limite lorsque t tend vers 0 par valeurs négatives, et cette limite,
qui n'est autre que N;(o), est majorée par llall·
D
1.4. Proposition. -
Soient E un espace vectoriel normé, I un intervalle de lR
ouvert à gauche, et cp : I --> E une application dérivable à gauche sur I. Alors la
fonction '1jJ : I --> IR, 'ljJ(t) = llcp(t)ll, est dérivable à gauche sur I et sa dérivée à
gauche vérifie
1'1/J~(t)I :::; llcp~(t)ll ·
Preuve : Soit a E I. Par hypothèse, cp est dérivable à gauche. Soit cp~(a) sa dérivée à
gauche en o:. Posons, pour tout t E IR,
N(t) = llcp(a) + tcp~(a)ll ·
D'après le lemme précédent, N est dérivable à gauche en 0, et sa dérivée à gauche en ce
point, notée N;(o), vérifie