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Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
Soit t E ~. t < 0, tel que a+ t E I. Nous avons
'1/J(a + t) - '1/J(a) - tN;(o) = jjcp(a + t)jj - Jjcp(a) + tcp~(a)jj
+ llcp(a) + tcp~(a)ll - ll
l'l/J(a + t) - '1/J(a) - tN;(o)I :S l llcp(a + t)ll - llcp(a) + tcp~(a)ll j
+ l ii
l 1/cp(a + t)l/ - ll
l/cp(a) +tep~( a) l i - llcp(a)ll - tN;(o) = N(t) - N(O) - tN;(o).
Nous pouvons donc écrire
ou encore
/'1/J(a + t) - '1/J(a) - tN;(o)j ::; l/cp(a + t) - cp(a) - tcp~(a)lj
+ jN(t) - N(O) - tN;(o)j,
11/J(a + t~ - '1/J(a) - N;(o) 1 ::; Il cp(a + t~ - cp(a) -
Les deux termes du membre de droite tendant vers 0 lorsque t --t 0 par valeurs négatives,
nous voyons que ' 1j J est dérivable à gauche au point a et a pour dérivée à gauche en ce
point '1/J~(a) = N;(o). L'inégalité(*) de l'énoncé est alors conséquence immédiate de
l'inégalité ( **) ci-dessus.
D
1.5. Remarque. - Le résultat établi dans la proposition précédente,
11/J~( t) 1 ::; ll'P~ ( t) 11 ,
est parfois appelé inégalité de la vitesse radiale. Son interprétation mécanique justifie en
effet ce nom : supposons, pour simplifier, J'espace E muni d'une norme différentiable
dans Je complémentaire de l'origine (c'est le cas, par exemple, d'une norme euclidienne
sur un espace de dimension finie, ou de la norme sur un espace de Hilbert). Si !'application
t ~ cp(t) est interprétée comme représentant la position d'un point mobile dans J'espace
E en fonction du temps, Je vecteur cp' ( t) représente la vitesse de ce point mobile à l'instant
t. La fonction t ~ 'ljJ(t) = llcp(t)ll représente la distance du point mobile à l'origine, en
fonction du temps. Sa dérivée ' 1/J' ( t) (qui existe si le point ne coïncide pas avec !'origine à
l'instant t) représente la vitesse radiale du point mobile, c'est-à-dire la vitesse à laquelle Je
point mobile s'éloigne (ou se rapproche, selon Je signe de ' 1/J' ( t)) de l'origine. L'inégalité
obtenue dans la proposition précédente signifie donc que la valeur absolue de la vitesse
radiale du point mobile est toujours inférieure ou égale à la norme de son vecteur vitesse.
1.6. Corollaire. - Soient n un ouvert de ~ 2 , f une application continue den dans
~' ' 1jJ : I --t ~ une solution, défi.nie sur un intervalle ouvert I de~. de l'équation
différentielle
'1/J'(t) = f(t,'ljJ(t)).
Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
Soit t E ~. t < 0, tel que a+ t E I. Nous avons
'1/J(a + t) - '1/J(a) - tN;(o) = jjcp(a + t)jj - Jjcp(a) + tcp~(a)jj
+ llcp(a) + tcp~(a)ll - ll
l'l/J(a + t) - '1/J(a) - tN;(o)I :S l llcp(a + t)ll - llcp(a) + tcp~(a)ll j
+ l ii
l 1/cp(a + t)l/ - ll
l/cp(a) +tep~( a) l i - llcp(a)ll - tN;(o) = N(t) - N(O) - tN;(o).
Nous pouvons donc écrire
ou encore
/'1/J(a + t) - '1/J(a) - tN;(o)j ::; l/cp(a + t) - cp(a) - tcp~(a)lj
+ jN(t) - N(O) - tN;(o)j,
11/J(a + t~ - '1/J(a) - N;(o) 1 ::; Il cp(a + t~ - cp(a) -
Les deux termes du membre de droite tendant vers 0 lorsque t --t 0 par valeurs négatives,
nous voyons que ' 1j J est dérivable à gauche au point a et a pour dérivée à gauche en ce
point '1/J~(a) = N;(o). L'inégalité(*) de l'énoncé est alors conséquence immédiate de
l'inégalité ( **) ci-dessus.
D
1.5. Remarque. - Le résultat établi dans la proposition précédente,
11/J~( t) 1 ::; ll'P~ ( t) 11 ,
est parfois appelé inégalité de la vitesse radiale. Son interprétation mécanique justifie en
effet ce nom : supposons, pour simplifier, J'espace E muni d'une norme différentiable
dans Je complémentaire de l'origine (c'est le cas, par exemple, d'une norme euclidienne
sur un espace de dimension finie, ou de la norme sur un espace de Hilbert). Si !'application
t ~ cp(t) est interprétée comme représentant la position d'un point mobile dans J'espace
E en fonction du temps, Je vecteur cp' ( t) représente la vitesse de ce point mobile à l'instant
t. La fonction t ~ 'ljJ(t) = llcp(t)ll représente la distance du point mobile à l'origine, en
fonction du temps. Sa dérivée ' 1/J' ( t) (qui existe si le point ne coïncide pas avec !'origine à
l'instant t) représente la vitesse radiale du point mobile, c'est-à-dire la vitesse à laquelle Je
point mobile s'éloigne (ou se rapproche, selon Je signe de ' 1/J' ( t)) de l'origine. L'inégalité
obtenue dans la proposition précédente signifie donc que la valeur absolue de la vitesse
radiale du point mobile est toujours inférieure ou égale à la norme de son vecteur vitesse.
1.6. Corollaire. - Soient n un ouvert de ~ 2 , f une application continue den dans
~' ' 1jJ : I --t ~ une solution, défi.nie sur un intervalle ouvert I de~. de l'équation
différentielle
'1/J'(t) = f(t,'ljJ(t)).