§ 1. Inégalités vérifiées par les solutions d'une équation différentielle
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Soient d'autre part [a, b[ un intervalle semi-ouvert contenu dans I, E un espace
vectoriel normé et
(i) ll
pour tout t E ]a, b[,
llcp~(t)ll < J (t, IJcp(t)ll).
Alors, pour tout t E [a, b[, on a
llcp(t)ll < 7/J(t).
Preuve : D'après la proposition précédente, l'application t r--+ h( t) = Il cp( t) Il est dérivable
à gauche, et sa dérivée à gauche vérifie
h~(t) ~ llcp~(t)ll < J(t, h(t)).
Nous pouvons donc lui appliquer le lemme 1.1, ce qui conduit au résultat annoncé.
0
Le résultat suivant, très fréquemment employé, s'obtient comme cas particulier du
corollaire 1.6.
1.7. Théorème [Inégalité de Gronwall]. -
Soient E un espace vectoriel normé,
et cp : I --+ E une application d'un intervalle ouvert I de JR, à valeurs dans E,
dérivable sur!. On suppose qu'il existe des constantes k > 0 etc 2: 0 telles que,
pour tout t E J,
llcp'(t)JJ ~ kJJcp(t)ll +c.
Alors pour tout couple (a, b) de points de I,
llcp(a)ll e-klb-al + I (e-klb-al _ 1) ~ llcp(b)ll ~ llcp(a)ll eklb-al + I (élb-al _ 1).
Preuve: Soient A etddeux réels. Considérons l'application f : JR. 2 --+ JR, f (t, x) = k x+d.
La solution maximale de l'équation différentielle
7/J'(t) = J(t,'ljJ(t))
qui vérifie 7/J (a) = A est la fonction
Supposons d'abord
7/J( t) = A ek(t-a) + ~ ( ek(t-a) _ l) .
k
b >a,
IJcp(a)ll
Le corollaire précédent s'applique et montre que
llcp(b)ll < 7/J(b) = Aélb-al + ~ (élb-al _ 1).
k
En faisant tendre A vers llcp( a) Il et d vers c, nous obtenons
llcp(b)ll ~ llcp(a)ll élb-al + î (élb-al - 1)'
c'est-à-dire aussi
llcp(b)ll e-klb-al + Î (e-klb-al - 1) ~ llcp(a)ll,
ce qui permet, en échangeant a et b, de traiter Je cas où b < a.
Nous obtenons l'autre inégalité en appliquant la même méthode à l'application t r--+ cp(-t).
0
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Soient d'autre part [a, b[ un intervalle semi-ouvert contenu dans I, E un espace
vectoriel normé et
(i) ll
pour tout t E ]a, b[,
llcp~(t)ll < J (t, IJcp(t)ll).
Alors, pour tout t E [a, b[, on a
llcp(t)ll < 7/J(t).
Preuve : D'après la proposition précédente, l'application t r--+ h( t) = Il cp( t) Il est dérivable
à gauche, et sa dérivée à gauche vérifie
h~(t) ~ llcp~(t)ll < J(t, h(t)).
Nous pouvons donc lui appliquer le lemme 1.1, ce qui conduit au résultat annoncé.
0
Le résultat suivant, très fréquemment employé, s'obtient comme cas particulier du
corollaire 1.6.
1.7. Théorème [Inégalité de Gronwall]. -
Soient E un espace vectoriel normé,
et cp : I --+ E une application d'un intervalle ouvert I de JR, à valeurs dans E,
dérivable sur!. On suppose qu'il existe des constantes k > 0 etc 2: 0 telles que,
pour tout t E J,
llcp'(t)JJ ~ kJJcp(t)ll +c.
Alors pour tout couple (a, b) de points de I,
llcp(a)ll e-klb-al + I (e-klb-al _ 1) ~ llcp(b)ll ~ llcp(a)ll eklb-al + I (élb-al _ 1).
Preuve: Soient A etddeux réels. Considérons l'application f : JR. 2 --+ JR, f (t, x) = k x+d.
La solution maximale de l'équation différentielle
7/J'(t) = J(t,'ljJ(t))
qui vérifie 7/J (a) = A est la fonction
Supposons d'abord
7/J( t) = A ek(t-a) + ~ ( ek(t-a) _ l) .
k
b >a,
IJcp(a)ll
Le corollaire précédent s'applique et montre que
llcp(b)ll < 7/J(b) = Aélb-al + ~ (élb-al _ 1).
k
En faisant tendre A vers llcp( a) Il et d vers c, nous obtenons
llcp(b)ll ~ llcp(a)ll élb-al + î (élb-al - 1)'
c'est-à-dire aussi
llcp(b)ll e-klb-al + Î (e-klb-al - 1) ~ llcp(a)ll,
ce qui permet, en échangeant a et b, de traiter Je cas où b < a.
Nous obtenons l'autre inégalité en appliquant la même méthode à l'application t r--+ cp(-t).
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