148
Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
1.8. Remarques. - Le lemme 1.1 peut s'étendre au cas où cp admet une dérivée à gauche
en tout point du complémentaire d'une partie finie ou dénombrable de ]a, b[, vérifiant les
inégalités indiquées. D'autre part, en remplaçant 'ljJ par-1/J, on obtient un énoncé analogue
à celui du lemme 1.1, les inégalités ::; et < étant remplacées par 2: et >. De même, en
remplaçant t par -t, on obtient des énoncés analogues à 1.1 et 1.4, les dérivées à gauche
étant remplacées par des dérivées à droite.
2. La continuité du flot
2.1. Définitions. -
Soit E un espace vectoriel réel normé complet et f une
application continue d'un ouvert n de lR X E dans E, localement lipschitzienne
par rapport à sa seconde variable. L'équation différentielle
cp'(t) = J(t,cp(t))'
(1)
satisfaisant les hypothèses du théorème V.2.10, notons, pour toute donnée de
Cauchy (to, xo) En, 'P(to,xo) la solution maximale de (1) qui satisfait cette donnée
de Cauchy, et I(to,xo) l'intervalle ouvert de lR contenant l'origine sur lequel cette
solution est définie.
1. On appelle.flot (ou coulée) de l'équation différentielle (1) l'application , ayant
pour expression
(t, to, xo) 1---+ (t, to, xo) = 'P(to,xo) (t),
définie sur la partie
D = LJ l(to,xo) X { to} X { Xo}
(to,xo)E!1
de lR x lR x E, et à valeurs dans E.
2. On suppose de plus que l'équation différentielle considérée est autonome, de la
forme
cp'(t) = f(cp(t))'
(2)
f étant maintenant une application localement lipschitzienne d'un ouvert U de
l'espace de Banach E dans E. Ainsi que nous l'avons vu (VI.2.1), c'est un cas
particulier de l'équation (1) dans lequel f2 = JR X U, l'application j pouvant être
considérée comme définie sur n, mais ne dépendant pas de la variable t E R
On appelle flot réduit de l'équation différentielle (2) l'application 'li, ayant pour
expression
(t, Xo) t---+ W(t, Xo) = (t, 0, Xo) = 'P(O,x 0 )(t),
définie sur la partie
Dr= {(t,xo) E lR x E
de lR x E, et à valeurs dans E.
2.2. Commentaires
(t,0,x0 ) ED}
a) Équation vérifiée par le flot. - End' autres termes, le flot del' équation différentielle
(1) est l'application, fonction de trois variables t, t0 et x 0 , telle que pour (t0 , x 0 ) E n
fixé, t 1---+ <1>( t, t 0 , x 0 ) soit la solution maximale de l'équation (1) satisfaisant la donnée de
Cauchy ( t 0 , x 0 ). Il vérifie donc
f)
f)t (t, to, Xo) = f(t, (t, to, Xo)), (to, to, Xo) = Xo.