§ 2. La continuité du flot
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De même, le flot réduit ' 11 de l'équation (2) est l'application, fonction de deux variables
t et xo, telle que pour xo E E fixé, t 1--+ '11(t, x0 ) soit la solution maximale de l'équation
(2) satisfaisant la donnée de Cauchy (0, x 0 ). Il vérifie donc
a
at '11(t, xo) = f(w(t, xo)), '11(0, x0 ) = x0 .
b) Flot réduit et équations autonomes. - La définition du flot réduit, donnée cidessus pour une équation autonome, garde un sens lorsque l'équation considérée est non
autonome, mais ne présente dans ce cas pas beaucoup d'intérêt : mieux vaut alors utiliser le
flot proprement dit. Par contre, pour l'équation différentielle autonome ( 2), nous allons voir
que la connaissance du flot réduit équivaut à celle du flot proprement dit. C'est pourquoi il
est préférable dans ce cas d'utiliser le flot réduit, dont l'expression est un peu plus simple
que celle du flot proprement dit (c'est une fonction de deux variables au lieu de trois).
D'après la proposition IV.2.2, pour toute solution cp de l'équation différentielle autonome (2), définie sur un intervalle ouvert I de JR, et tout 0 E JR, l'application de
I + 0 (translaté de I par 0) dans E, t 1--+ cp o Te(t) = cp(t - 0 est aussi solution de
cette équation. En raison de l'unicité de la solution maximale satisfaisant une donnée de
Cauchy spécifiée, cette propriété signifie que le flot de l'équation ( 2) vérifie la propriété
suivante : pour tout 0 E JR, un triplet (t, t0 , x0 ) E lR x lR x E est élément de D si et
seulement si (t - 0, t0 - 0, x 0 ) est élément de D; lorsque c'est le cas,
(t - 0, to - 0, xo) = (t, to, xo).
En particulier, en faisant 0 = t0 , nous voyons que (t, t0 , x0 ) est élément de D si et
seulement si (t - t0 , 0, x0 ) est élément de D, et que lorsque c'est le cas,
(t, to, xo) = (t - to, 0, xo).
En faisant intervenir le flot réduit ' 11 de l'équation (2), défini sur la partie Dr de lR x E, le
résultat qui précède s'énonce ainsi: un triplet (t, t0 , x 0 ) E lR x lR x E est élément de D
si et seulement si (t - t0 , x 0 ) est élément de Dr, et lorsque c'est le cas,
(t, to, xo) = w(t - to, xo).
La connaissance du flot réduit équivaut à celle du flot proprement dit, puisque
D = { (t, to, xo) E lR x lR x E ; (t - to, xo) E Dr}, (t, to, xo) = \ll(t - to, xo).
c) Exemples. - Le flot de l'équation différentielle, sur JR,
y'(t) = y(t)'
est défini sur JR 3 , et a pour expression
(t, to, xo) = xo et-ta.
Cette équation est autonome; son flot réduit '11, défini sur JR 2 , a pour expression
'1J(t,xo) =(t,0,xo) = Xoet.
De même, le flot réduit de l'équation différentielle non autonome, sur IR,
z' ( t) = z ( t) + cos t ,
défini su~ JR 3 , a pour expression
(
) (
sin to - cos to) t-t
sin t - cos t
t, t0 , x0 = xo -
2
e 0 +
2
.
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De même, le flot réduit ' 11 de l'équation (2) est l'application, fonction de deux variables
t et xo, telle que pour xo E E fixé, t 1--+ '11(t, x0 ) soit la solution maximale de l'équation
(2) satisfaisant la donnée de Cauchy (0, x 0 ). Il vérifie donc
a
at '11(t, xo) = f(w(t, xo)), '11(0, x0 ) = x0 .
b) Flot réduit et équations autonomes. - La définition du flot réduit, donnée cidessus pour une équation autonome, garde un sens lorsque l'équation considérée est non
autonome, mais ne présente dans ce cas pas beaucoup d'intérêt : mieux vaut alors utiliser le
flot proprement dit. Par contre, pour l'équation différentielle autonome ( 2), nous allons voir
que la connaissance du flot réduit équivaut à celle du flot proprement dit. C'est pourquoi il
est préférable dans ce cas d'utiliser le flot réduit, dont l'expression est un peu plus simple
que celle du flot proprement dit (c'est une fonction de deux variables au lieu de trois).
D'après la proposition IV.2.2, pour toute solution cp de l'équation différentielle autonome (2), définie sur un intervalle ouvert I de JR, et tout 0 E JR, l'application de
I + 0 (translaté de I par 0) dans E, t 1--+ cp o Te(t) = cp(t - 0 est aussi solution de
cette équation. En raison de l'unicité de la solution maximale satisfaisant une donnée de
Cauchy spécifiée, cette propriété signifie que le flot de l'équation ( 2) vérifie la propriété
suivante : pour tout 0 E JR, un triplet (t, t0 , x0 ) E lR x lR x E est élément de D si et
seulement si (t - 0, t0 - 0, x 0 ) est élément de D; lorsque c'est le cas,
(t - 0, to - 0, xo) = (t, to, xo).
En particulier, en faisant 0 = t0 , nous voyons que (t, t0 , x0 ) est élément de D si et
seulement si (t - t0 , 0, x0 ) est élément de D, et que lorsque c'est le cas,
(t, to, xo) = (t - to, 0, xo).
En faisant intervenir le flot réduit ' 11 de l'équation (2), défini sur la partie Dr de lR x E, le
résultat qui précède s'énonce ainsi: un triplet (t, t0 , x 0 ) E lR x lR x E est élément de D
si et seulement si (t - t0 , x 0 ) est élément de Dr, et lorsque c'est le cas,
(t, to, xo) = w(t - to, xo).
La connaissance du flot réduit équivaut à celle du flot proprement dit, puisque
D = { (t, to, xo) E lR x lR x E ; (t - to, xo) E Dr}, (t, to, xo) = \ll(t - to, xo).
c) Exemples. - Le flot de l'équation différentielle, sur JR,
y'(t) = y(t)'
est défini sur JR 3 , et a pour expression
(t, to, xo) = xo et-ta.
Cette équation est autonome; son flot réduit '11, défini sur JR 2 , a pour expression
'1J(t,xo) =
De même, le flot réduit de l'équation différentielle non autonome, sur IR,
z' ( t) = z ( t) + cos t ,
défini su~ JR 3 , a pour expression
(
) (
sin to - cos to) t-t
sin t - cos t
t, t0 , x0 = xo -
2
e 0 +
2
.