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Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
2.3. Proposition. -
Les hypothèses et notations sont celles de la définition 2.1.
1. Le flot q, : D --+ E de l'équation différentielle (1) vérifie les propriétés suivantes.
(i) Pour tout (to, xo) E 0, (ta, to, xo) est élément du domaine de définition D de
q,, et
q,(to, ta, xo) = xa.
(ii) Soient (ta' Xa) E n, ti et tz deux réels. On suppose le triplet ( ti' ta' Xo) élément
du domaine de définition D de q,_ Alors le triplet (t2, to, xa) est élément de D
si et seulement si (t2,t1,q,(t1,ta,xa)) est élément de D. Lorsque c'est le cas,
on a
(iii) Si le triplet (t 1,t0 ,xa) est élément de D, alors (ta,t1,q,(t1,to,xa)) est aussi
élément de D, et
2. Considérons maintenant l'équation différentielle autonome (2). Son flot réduit
w vérifie les propriétés suivantes.
(iv) Pour tout xa EU, (0, xo) est élément du domaine de définition Dr de W, et
'11(0,xa)=xa.
(o)
(v) Soient x0 E U, t1 et tz E R On suppose (t1, xa) élément du domaine de
définition Dr de W. Alors ( tz, W ( t 1 , xo)) est élément de Dr si et seulement si
(t1 + t2 , x0 ) est élément de Dr. Lorsque c'est le cas,
w(t2, w(t1, xa)) = w(t1 + tz, xa).
(oo)
(vi) Si (t1,xa) est élément de Dri alors (-ti, w(t1,xa)) est élément de Dr, et
1J!(-t1, 1J!(t1, Xo)) = XQ.
(ooo)
Preuve:
1. La propriété (i) est une conséquence immédiate de la définition : léquation ( *) ne fait
qu'exprimer le fait que pour toute donnée de Cauchy (ta, xa) E n, il existe une solution
maximale

La figure 1 ci-dessous illustre le raisonnement qui permet d'établir (ii) et (iii).
E
Xa
0
Figure 1. Illustration de la preuve de la proposition 2.3.