§ 2. La continuité du flot
151
Soit x1 = (t1, to, xo). La solution maximale t t-t cp(t) de l'équation (1) satisfaisant
la donnée de Cauchy ( t 1 , x 1 ) est identique à la solution maximale de cette équation
satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 , x0 ). Nous pouvons donc exprimer de deux manières
le fait que le réel t 2 appartienne à l'intervalle de définition de cette solution : soit en disant
que (t2, ti, x1) E D, soit en disant que (t 2 , t0 , x0 ) E D; ces deux assertions sont donc
bien équivalentes. Lorsqu'elles sont vraies, en exprimant cp(t2 ) de deux manières, nous
obtenons l'égalité(**).
Montrons maintenat (iii). Faisons t 2 = t0 . Le triplet (t0 , t0 , x0 ) est évidemment élément
de D, et nous avons bien sûr (t0 , t0 , x0 ) = x0 . En écrivant (**)dans ce cas particulier,
nous obtenons ( ***).
2. Les propriétés (iv), (v) et (vi) ne sont que la traduction des propriétés (i), (ii) et (iii) dans
le cas particulier où l'équation considérée est autonome.
D
2.4. Remarque. - Grâce à de nouvelles notations, nous allons essayer de mieux mettre
en évidence la signification des résultats établis dans la proposition précédente.
a) Cas d'une équation non autonome. - Plaçons nous d'abord dans le cas où l'équation
différentielle considérée (1) est non autonome. Posons, pour tous t0 et t E IR,
U(t,to) = { Xo E E; (t,to,xo) ED},
et, pour tout Xo E U(t,to)•
(t,t 0 )(xo) = (t, to, xo).
Nous voyons alors que (t,to) est une application, définie sur la partie U(t,to) de E, à
valeurs dans E.
En particulier, pour tout t0 E IR, nous avons
U(to,to) = { xo E E ; (to, to, xo) E D} = { Xo E E ; (to, xo) E !1}.
La propriété (i) de la proposition précédente, et l'équation ( * ), s'expriment comme suit:
pour tout to E IR tel que U(to,to) soit non vide, on a
(to,to) = idu(t 0 ,t 0 ) •
( *)
La propriété (ii) de la proposition précédente, et l'équation ( **),peuvent être mises sous la
forme suivante: soit x0 E U(ti ,to); alors (t 1 ,to) (x0 ) est élément de U(t 2 ,ti) si et seulement
si x0 est élément de U(t 2 ,to)• et on a
(t2,to) = (t2,t1) 0 (t1,to) ·
(**)
Quant à la propriété (iii) et à la relation ( *** ), elles s'expriment, avec ces nouvelles
notations, comme suit : pour tous to et t 1 E IR tels que U(ti ,to) soit non vide, lapplication
(ti ,to) : U(ti ,to) --> E est injective et a pour image U(to,ti); lorsqu'on la considère comme
une bijection de u(t1,to) sur son image, elle a pour inverse
(
= (to,t1) ·
(***)
Ces propriétés ressemblent beaucoup à celles des éléments d'un groupe. Cependant, la
famille d'applications { (t,to) ; t0 E IR, t E IR}, munie des lois de composition et
d'inversion données par les formules ( * ), ( **) et ( *** ), n'est en général pas un groupe,
car la loi de composition n'est pas définie pour tout couple ordonné d'éléments : si (ti ,to)
et (si,so) sont deux éléments de cette famille d'applications, l'application composée
(s 1 ,so) o (ti ,to) n'appartient à la famille (sauf cas particulier) que si so = ti. On dit que
cette famille d'applications, munie des lois de composition et d'inversion(*) et(**), est
un groupoïde.
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Soit x1 = (t1, to, xo). La solution maximale t t-t cp(t) de l'équation (1) satisfaisant
la donnée de Cauchy ( t 1 , x 1 ) est identique à la solution maximale de cette équation
satisfaisant la donnée de Cauchy (t0 , x0 ). Nous pouvons donc exprimer de deux manières
le fait que le réel t 2 appartienne à l'intervalle de définition de cette solution : soit en disant
que (t2, ti, x1) E D, soit en disant que (t 2 , t0 , x0 ) E D; ces deux assertions sont donc
bien équivalentes. Lorsqu'elles sont vraies, en exprimant cp(t2 ) de deux manières, nous
obtenons l'égalité(**).
Montrons maintenat (iii). Faisons t 2 = t0 . Le triplet (t0 , t0 , x0 ) est évidemment élément
de D, et nous avons bien sûr (t0 , t0 , x0 ) = x0 . En écrivant (**)dans ce cas particulier,
nous obtenons ( ***).
2. Les propriétés (iv), (v) et (vi) ne sont que la traduction des propriétés (i), (ii) et (iii) dans
le cas particulier où l'équation considérée est autonome.
D
2.4. Remarque. - Grâce à de nouvelles notations, nous allons essayer de mieux mettre
en évidence la signification des résultats établis dans la proposition précédente.
a) Cas d'une équation non autonome. - Plaçons nous d'abord dans le cas où l'équation
différentielle considérée (1) est non autonome. Posons, pour tous t0 et t E IR,
U(t,to) = { Xo E E; (t,to,xo) ED},
et, pour tout Xo E U(t,to)•
(t,t 0 )(xo) = (t, to, xo).
Nous voyons alors que (t,to) est une application, définie sur la partie U(t,to) de E, à
valeurs dans E.
En particulier, pour tout t0 E IR, nous avons
U(to,to) = { xo E E ; (to, to, xo) E D} = { Xo E E ; (to, xo) E !1}.
La propriété (i) de la proposition précédente, et l'équation ( * ), s'expriment comme suit:
pour tout to E IR tel que U(to,to) soit non vide, on a
(to,to) = idu(t 0 ,t 0 ) •
( *)
La propriété (ii) de la proposition précédente, et l'équation ( **),peuvent être mises sous la
forme suivante: soit x0 E U(ti ,to); alors (t 1 ,to) (x0 ) est élément de U(t 2 ,ti) si et seulement
si x0 est élément de U(t 2 ,to)• et on a
(t2,to) = (t2,t1) 0 (t1,to) ·
(**)
Quant à la propriété (iii) et à la relation ( *** ), elles s'expriment, avec ces nouvelles
notations, comme suit : pour tous to et t 1 E IR tels que U(ti ,to) soit non vide, lapplication
(ti ,to) : U(ti ,to) --> E est injective et a pour image U(to,ti); lorsqu'on la considère comme
une bijection de u(t1,to) sur son image, elle a pour inverse
(
= (to,t1) ·
(***)
Ces propriétés ressemblent beaucoup à celles des éléments d'un groupe. Cependant, la
famille d'applications { (t,to) ; t0 E IR, t E IR}, munie des lois de composition et
d'inversion données par les formules ( * ), ( **) et ( *** ), n'est en général pas un groupe,
car la loi de composition n'est pas définie pour tout couple ordonné d'éléments : si (ti ,to)
et (si,so) sont deux éléments de cette famille d'applications, l'application composée
(s 1 ,so) o (ti ,to) n'appartient à la famille (sauf cas particulier) que si so = ti. On dit que
cette famille d'applications, munie des lois de composition et d'inversion(*) et(**), est
un groupoïde.