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Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
b) Cas d'une équation autonome. - L'équation différentielle considérée est maintenant
l'équation autonome (2), dont le flot réduit est l'application W, définie sur la partie Dr de
lR x E. Pour tout t E IR, posons
Ut= U(t,O) = {XE U ; (t, x) E Dr},
et notons Wt : Ut ----+ E l'application
Wt(Xo) = w(t,xo).
La propriété (iv) de la proposition précédente et l'équation(<>) s'expriment comme suit:
onaUo = U,et
Wo = idu.
( <>)
La propriété ( v) de la proposition précédente et l'équation ( <><>) se mettent sous la forme
suivante : soit x0 E Ut 1 ; alors w t 1 ( x 0 ) est élément de Ut 2 si et seulement si x0 est élément
de Ut 2 +t 1 , et on a
( <><>)
Enfin, la propriété( vi) et la relation ( <><><>) s'expriment, avec ces nouvelles notations, comme
suit: pour tout t E lR tel que Ut soit non vide, l'application Wt : Ut ----+ E est injective et
a pour image U _t; lorsqu'on la considère comme une bijection de Ut sur son image, elle
a pour inverse
( <><><>)
Dans le cas particulier où le domaine Dr du flot réduit est égal à lR x U, c'est-àdire où toute solution maximale de l'équation différentielle autonome (2) est définie
sur lR entier, l'application t 1--+ Wt est un homomorphisme du groupe additif lR dans
le groupe des applications bijectives de l'ouvert U de E sur lui-même. Nous verrons
plus loin que les applications Wt sont des homéomorphismes localement lipschitziens.
L'application t 1--+ w t est donc un homomorphisme du groupe additif lR dans le groupe
des homéomorphismes localement lipschitziens de U.
2.5. Lemme. -
On se place dans les hypothèses de la définition 2.1. Soit ~
un intervalle fermé et borné de IR, et W une partie den vérifiant les conditions
suivantes:
(i) la restriction de f à W est majorée en norme par un réel M 2' : 0, et
lipschitzienne relativement à sa seconde variable, de rapport k 2' : 0;
(ii) pour toute donnée de Cauchy (t0 , x 0 ) E W et tout t E ~' le triplet (t, t0 , x 0 )
est élément du domaine D de définition du flot , et (t, (t, t 0 , x0 )) E W.
On note C(~, E) l'espace des applications continues de ~ dans E, muni de la
norme de la convergence uniforme.
·
Alors l'application de W dans C(~, E) qui, à chaque (to, xo) E W, associe la
restriction à ~ de l'application t 1--+ ( t, t 0 , x0 ), est continue et lipschitzienne. Plus
précisément, si on note f la longueur de l'intervalle ~' on a, pour tous t E ~'
(to, xo) et (t1, x1) E W,
ll(t, ti, x1) - (t, to, xo)ll ~ ée(llx1 - xoll + M lt1 - toi).
Preuve: Soient (t0 , x0 ) et (t1 , x1) deux éléments de W. Pour tout t E ~. (t, t0 , x0 ) E D,
(t, (t, to, xo)) E W, et nous avons
l i
8(t, to, xo) Il Il (
) Il
ot
= f t, (t, to, xo) ~ M.
Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
b) Cas d'une équation autonome. - L'équation différentielle considérée est maintenant
l'équation autonome (2), dont le flot réduit est l'application W, définie sur la partie Dr de
lR x E. Pour tout t E IR, posons
Ut= U(t,O) = {XE U ; (t, x) E Dr},
et notons Wt : Ut ----+ E l'application
Wt(Xo) = w(t,xo).
La propriété (iv) de la proposition précédente et l'équation(<>) s'expriment comme suit:
onaUo = U,et
Wo = idu.
( <>)
La propriété ( v) de la proposition précédente et l'équation ( <><>) se mettent sous la forme
suivante : soit x0 E Ut 1 ; alors w t 1 ( x 0 ) est élément de Ut 2 si et seulement si x0 est élément
de Ut 2 +t 1 , et on a
( <><>)
Enfin, la propriété( vi) et la relation ( <><><>) s'expriment, avec ces nouvelles notations, comme
suit: pour tout t E lR tel que Ut soit non vide, l'application Wt : Ut ----+ E est injective et
a pour image U _t; lorsqu'on la considère comme une bijection de Ut sur son image, elle
a pour inverse
( <><><>)
Dans le cas particulier où le domaine Dr du flot réduit est égal à lR x U, c'est-àdire où toute solution maximale de l'équation différentielle autonome (2) est définie
sur lR entier, l'application t 1--+ Wt est un homomorphisme du groupe additif lR dans
le groupe des applications bijectives de l'ouvert U de E sur lui-même. Nous verrons
plus loin que les applications Wt sont des homéomorphismes localement lipschitziens.
L'application t 1--+ w t est donc un homomorphisme du groupe additif lR dans le groupe
des homéomorphismes localement lipschitziens de U.
2.5. Lemme. -
On se place dans les hypothèses de la définition 2.1. Soit ~
un intervalle fermé et borné de IR, et W une partie den vérifiant les conditions
suivantes:
(i) la restriction de f à W est majorée en norme par un réel M 2' : 0, et
lipschitzienne relativement à sa seconde variable, de rapport k 2' : 0;
(ii) pour toute donnée de Cauchy (t0 , x 0 ) E W et tout t E ~' le triplet (t, t0 , x 0 )
est élément du domaine D de définition du flot , et (t, (t, t 0 , x0 )) E W.
On note C(~, E) l'espace des applications continues de ~ dans E, muni de la
norme de la convergence uniforme.
·
Alors l'application de W dans C(~, E) qui, à chaque (to, xo) E W, associe la
restriction à ~ de l'application t 1--+ ( t, t 0 , x0 ), est continue et lipschitzienne. Plus
précisément, si on note f la longueur de l'intervalle ~' on a, pour tous t E ~'
(to, xo) et (t1, x1) E W,
ll(t, ti, x1) - (t, to, xo)ll ~ ée(llx1 - xoll + M lt1 - toi).
Preuve: Soient (t0 , x0 ) et (t1 , x1) deux éléments de W. Pour tout t E ~. (t, t0 , x0 ) E D,
(t, (t, to, xo)) E W, et nous avons
l i
8(t, to, xo) Il Il (
) Il
ot
= f t, (t, to, xo) ~ M.