§ 2. La continuité du flot
153
Comme le segment [(to, to, x0 ), (t1, t0 , x0 )] est contenu dans D, le théorème des accroissements finis permet d'écrire
ll(t1, to, xo) - xoll :SM lti - toi·
Mais nous avons aussi, pour tout t E Li,
ll
â(t,t1,x1)_8(t,to,xo)ll=ll!( ""(
))-!( ""(
))il
ât
ât
t, '!' t, t1, x1
t, '!' t, t0 , x0
.
L'inégalité de Gronwall 1.7, appliquée à la fonction t i---+ (t, t1, x1) - (t, to, xo) et aux
points t 1 et t, donne, en notant fla longueur de l'intervalle Li,
ll(t,t1,x1)-(t,to,xo)ll :S llx1-(t1,to,xo)lleklti-tl
:S llx1 - (t1, to, xo)ll ée
:S eke(llx1 - xoll + M lt1 - toi)·
Cette dernière inégalité montre que lorsque (t1 , x 1 ) tend vers (t0 , x0 ), la fonction
t i---+ ( t, t1, x1) converge unifonnément sur Li vers la fonction t i---+ ( t, to, xo).
D
2.6. Lemme. -
On se place dans les hypothèses de la définition 2.1. Pour tout
(t0 , x 0 ) E n, il existe l > 0 et r > 0 vérifiant les propriétés suivantes :
(i) Je tonneau fermé V= [t0 - 3l, t0 + 3l] x BF(x0 , 3r) est un tonneau de sécurité,
et la restriction de f à ce tonneau est bornée et lipschitzienne par rapport à
sa seconde variable;
(ii) soit W = Jt0 -l, t0 +l[ xB(x0 , r); c'est un tonneau de sécurité ouvert de centre
(t0 , x0 ) et, pour tout élément (t1, x 1) de W, et tout t E [t0 -l, t0 + l], le triplet
(t,t 1,xi) est élément de D et (t,(t, t 1 ,xi)) est élément de V.
Preuve : La fonction f étant localement lipschitzienne relativement à sa seconde variable,
il existe un voisinage ouvert n' de (t0 , x0 ), n' c n, tel que la restriction de f à n' soit
lipschitzienne relativement à sa seconde variable. Cette application, étant continue, est
localement bornée; il existe donc un tonneau de sécurité fenné V = [to - 3l, t0 + 3l] x
BF(x0 , 3r) contenu dans n'. La restriction de f à V est alors bornée et lipschitzienne
relativement à sa seconde variable.
Soit W = Jt0 - l, t0 + l[ xB(x0 , r). C'est un tonneau homothétique à l'intérieur de
V, de même centre. D'après la remarque V.2.2.b, c'est un tonneau de sécurité. Soit
(t1,x1) E W. Toujours d'après cette remarque, le tonneau fenné, de centre (ti,x1),
[t1 - 2l, t 1 + 2l] x BF(x1, 2l), est de sécurité. D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz
V.2.7, l'intervalle de définition de la solution maximale de l'équation différentielle
considérée, qui satisfait la donnée de Cauchy (t1, x1), contient ]t1 - 2l, ti + 2l[, qui
lui-même contient [t0 - l, t0 + l]. Donc pour tout t E [to - l, to + l], le triplet ( t, t1, x 1)
est élément de D, et ( t, (t, t1, x1)) est élément de [ti - 2l, t 1 + 2l] x BF(x 1, 2l), donc,
a fortiori, élément de V.
D
2.7. Théorème.- Soit E un espace de Banach, n un ouvert de lR x E et f: n---+ E
une application continue, et localement lipschitzienne relativement à sa seconde
variable. On note le flot de l'équation différentielle
cp'(t) = f(t,cp(t)).
(1)
Le domaine de définition D du flot cp est un ouvert de lR x lR x E, et l'application
: D ---+ E est continue et localement lipschitzienne.
De même, lorsque l'équation différentielle considérée est autonome, de la forme
cp'(t) = f(cp(t)),
(2)
où f est une application localement lipschitzienne d'un ouvert U de E dans E,
le domaine de définition Dr de son flot réduit est un ouvert de lR x E, et ce Hot
réduit est une application continue et localement lipschitzienne de Dr dans E.