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Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
Preuve: Soit (t1, to, x0 ) ED. Supposons par exemple t1 ~ t0 . L'ensemble
C = { (t, (t, to, xo)) ; t E [to, t1]},
image de [t0 , t 1] par une application continue, est une partie compacte de n. Pour tout
point (t,x = (t,t0 ,x0 )) deC, ilexistedesréelslt > Oetrt > Ovérifiantlesconditions
énoncées dans le lemme 2.6. Rappelons ces conditions, afin de fixer les notations :
-les tonneaux vt = [t- 3lt, t + 3lt] x BF(x, 3rt) et Wt = ]t - lt, t + lt[ xB(x, rt) sont
de sécurité;
- la restriction de f à vt est majorée en norme par Mt ~ 0, et lipschitzienne relativement
à sa seconde variable, de rapport kt ;
-pour toute donnée de Cauchy (t', x') E Wt ettout t" E [t-lt. t+lt]. le triplet (t", t', x')
est élément de D et ( t", ( t", t', x')) E vt.
Lorsque t parcourt [t0 , ti], les tonneaux Wt forment un recouvrement ouvert de C,
dont nous pouvons extraire un recouvrement fini { Wo 0 , Wo 1 , ••• , Won}. En ajoutant si
nécessaire Wt 0 et Wt 1 à ce recouvrement, en ordonnant ses éléments et en supprimant ceux
qui sont redondants, nous pouvons nous ramener au cas où t0 = 80 < 81 < · · · < Bn = t 1 ,
et où, pour tout i E { 0, 1, · · ·, n - 1 }, Wo; n Woi+ 1 =!= 0. Il existe alors, pour tout
i E { 0, 1, ... , n-l }, un réel (i E ]Bi, Bi+d tel que l(i-Bd
c'est-à-dire vérifient
to =Bo < (o < 81 < (1 < · · · < (n-1 < Bn = tl.
La figure 2 illutre la situation.
E
0
Posons
so s~ to
Figure 2. Illustration de la preuve du théorème 2.7.
M= sup Mo;,
O:' .Si:' .Sn
k = sup ko;,
0:'.Si:'.Sn
l = sup lo;.
O:' .Si:' .Sn
Soient (so, Yo) et sb, Yb) deux éléments de Wo 0 • D'après le lemme 2.6, ((0 , s0 , y0 ) et
((o, sb, Yb) sont éléments de D. De plus, d'après le lemme 2.5,
ll((o, so,Yo) - ((o, s~,yb)ll :S e 2 k 1 (11Yo -ybll + Mlso - sbl) ·
(*)
Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
Preuve: Soit (t1, to, x0 ) ED. Supposons par exemple t1 ~ t0 . L'ensemble
C = { (t, (t, to, xo)) ; t E [to, t1]},
image de [t0 , t 1] par une application continue, est une partie compacte de n. Pour tout
point (t,x = (t,t0 ,x0 )) deC, ilexistedesréelslt > Oetrt > Ovérifiantlesconditions
énoncées dans le lemme 2.6. Rappelons ces conditions, afin de fixer les notations :
-les tonneaux vt = [t- 3lt, t + 3lt] x BF(x, 3rt) et Wt = ]t - lt, t + lt[ xB(x, rt) sont
de sécurité;
- la restriction de f à vt est majorée en norme par Mt ~ 0, et lipschitzienne relativement
à sa seconde variable, de rapport kt ;
-pour toute donnée de Cauchy (t', x') E Wt ettout t" E [t-lt. t+lt]. le triplet (t", t', x')
est élément de D et ( t", ( t", t', x')) E vt.
Lorsque t parcourt [t0 , ti], les tonneaux Wt forment un recouvrement ouvert de C,
dont nous pouvons extraire un recouvrement fini { Wo 0 , Wo 1 , ••• , Won}. En ajoutant si
nécessaire Wt 0 et Wt 1 à ce recouvrement, en ordonnant ses éléments et en supprimant ceux
qui sont redondants, nous pouvons nous ramener au cas où t0 = 80 < 81 < · · · < Bn = t 1 ,
et où, pour tout i E { 0, 1, · · ·, n - 1 }, Wo; n Woi+ 1 =!= 0. Il existe alors, pour tout
i E { 0, 1, ... , n-l }, un réel (i E ]Bi, Bi+d tel que l(i-Bd
c'est-à-dire vérifient
to =Bo < (o < 81 < (1 < · · · < (n-1 < Bn = tl.
La figure 2 illutre la situation.
E
0
Posons
so s~ to
Figure 2. Illustration de la preuve du théorème 2.7.
M= sup Mo;,
O:' .Si:' .Sn
k = sup ko;,
0:'.Si:'.Sn
l = sup lo;.
O:' .Si:' .Sn
Soient (so, Yo) et sb, Yb) deux éléments de Wo 0 • D'après le lemme 2.6, ((0 , s0 , y0 ) et
((o, sb, Yb) sont éléments de D. De plus, d'après le lemme 2.5,
ll((o, so,Yo) - ((o, s~,yb)ll :S e 2 k 1 (11Yo -ybll + Mlso - sbl) ·
(*)