§ 2. La continuité du flot
155
En particulier, pour sb = to et Yb = xo,
ll( (o, sa, Yo) - ((o, to, xo) Il :::; e 2 kl (llYo - xo Il +Misa - to 1) .
( **)
Cette inégalité prouve que lorsque (so, Yo) converge vers (to, xo), <1>((0, s0 , y0 ) converge
vers <1>((0, t0 , x0 ). Mais, d'après les règles de composition du flot,
((o,to,xo) = <1>((0,81,<1>(81,to,xo)).
Nous remarquons que Wo 1 est un tonneau de sécurité de centre ( 81, <1>(81, t0 , x0 )). Par
suite, le point ( (o, ( (o, to, xo)) est élément de Wo 1 • Comme ( (o, <1> ( (o, so, Yo)) converge
vers ((o,((o,to,xo)) lorsque (so,Yo) converge vers (to,xo), nous voyons que pour
llYo - xoll et lso - toi assez petits, ( (o, ((o, so, Yo)) est élément de W9 1 • De même, pour
li Yb - xoll et lsb - toi assez petits, ( (o, <1>( (o, sb, y 0 )) est élément de Wo 1 •
D'après le lemme 2.6, ( (1, (o, <1>( (o, so, Yo)) et ( (1, (o, ((o, sb, y 0 )) sont éléments de D,
et d'après le lemme 2.5 et l'inégalité(*) ci-dessus,
11 ( ( 1, (o, ( (o, so, Yo) )-<1> ( ( 1, (o, ( (o, s~, Yb)) 11
:::; e 2 kl Il <1>( (o, so, Yo) - <1>( (o, sb, Yb) Il
:::; e4k 1 (11Yo -ybll +Misa - sbl) ·
De même, d'après le lemme 2.6 et l'inégalité(**) ci-dessus,
11 ( ( 1, (o, ( (o, sa, Yo)) - ( ( 1, (o, ( (o, to, Xo)) 11
:::; e 2 k 1 ll((o,so,yo)-((o,to,xo)ll
:::; e4k 1 (11Yo - xoll +Misa - toi)·
Mais d'après les règles de composition du flot, ((1, sa, Yo), ((1, sb, y 0 ) et ((1, to, xo) sont
éléments de D et
<1>((1, (o, ((o, so, Yo)) = <1>((1, so, Yo), <1>((1, (o, ((o, s~, Yb))= <1>((1, s~, Yb),
<1>( (1, (o, <1>( (o, ta, xo)) = <1>( (1, to, xo).
Nous avons, pour llYo - x0ll. llYo - xoll. lso - toi et lsb - toi assez petits, les inégalités
11<1>((1, sa, Yo) - <1>((1, to, xo)ll :::; e4kl (llYo - xoll +Misa - toi),
11 ( ( 1 , s~, Yb) - ( ( 1, to, Xo) 11 :::; e4kl ( 11 Yb - Xo 11 + M 1 sb - to 1) ,
ll((i,so,Yo)-((i,s~,yb)ll:::; e4k 1 (llY0 -ybll +Misa - sbl) ·
En procédant comme nous l'avons fait ci-dessus pour montrer que ( (o, ( (0, to, xo)) est
élément de W 91 , nous voyons que ( ( 1, <1>( (1, t0, x0 )) E Wo 2 • Les deux premières inégalités
ci-dessus montrent alors que pour llYo - xoll. llYÜ- xoll, lso - toi et lsb - toi assez petits,
( (1, <1>( (1, sa, Yo)) et ( (1, <1>( (1, sb, y 0 )) sont éléments de Wo 2 •
Nous pouvons alors répéter plusieurs fois le même raisonnement, en remplaçant ( (1, Wo 1 )
successivement par ((2, Wo 2 ) , ••• , ((n-1, Won_J. Nous voyons ainsi que pour llYo-xoll.
llYo - xoll. lso - toi et lsb - toi assez petits,
ll((n-11 sa, Yo) - ((n-11 ta, xo)ll :::; e 2 nkl (llYo - xoll +Misa - toi),
ll((n-11 sb, Yb) - ((n-1, ta, xo)ll :::; e 2 nkl (llYb - xoll +Mis~ - toi),
ll((n-1, sa, Yo) - ((n-1, sb, Yb)ll :::; e 2 nkl (llYo - Ybll +Misa - sbl) ·
Puisque ( (n_ 1, ((n-l, t0, x0 )) est élément de Won, l'inégalitéci-dessus montre que pour
llYo -xoll. llYÜ- xo Il. lso -toi et lsb-to 1 assez petits (disons, pour fixer les notations, pour
llYo - xoll < c, llYo -xoll < c, Isa - toi< cet lsb- toi< c, pour un certain réel c > 0),