156
Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
( (n-1, et 2.6 montrent alors que pour tout élément s1 de l'intervalle ] On - lo,., On + le,. [, qu'on
peut aussi écrire ]t1 - lt 1 , tl + lt 1 [, ( s1, (n-1, ll ~ e 2 kl ll ~ e 2 (n+l)kl(llYo -ybll + Mlso - sbl) ·
D'après les règles de composition du flot, ( s1, so, y0 ) et ( s1, sb, Yb) sont éléments de D et
la dernière inégalité s'écrit
ll Soit s~ un autre élément de l'intervalle JOn - le,., On + le,. [, qu'on peut aussi écrire
]t1 - ltp tl + lt 1 [.Alors (s~, (n-1, Wt 1 f est majorée par M,
ll et nous pouvons écrire
ll Nous avons donc prouvé que le voisinage ouvert de (ti, t0 , x0 ) dans lR x lR x E,
]t1 - lt 1 , t1 + lt 1 [ x ]to - ê, t0 + ê[ xB(xo, ê), est contenu dans D (ce qui montre que
D est ouvert), et que sur ce voisinage, le flot cl> est une application lipschitzienne, donc
continue.
Les propriétés correspondantes du flot réduit d'une équation différentielle autonome s'en
déduisent immédiatement, puisque le flot réduits' obtient en donnant à la seconde variable
t0 dont dépend le flot proprement dit la valeur O.
D
2.8. Corollaire. - Dans les hypothèses du théorème précédent, et avec les notations
de la remarque 2.4, pour tout couple (t1 , t0 ) de réels, l'ensemble
U(t 1 ,t 0 ) = { x E E ; (t1,to, x) ED}
est un ouvert de E. Lorsque cet ouvert est non vide, l'application xi---+ dont l'inverse est Lorsque de plus l'équation différentielle considérée est autonome, toujours avec les
notations de la remarque 2.4, pour tout réel t, l'ensemble
Ut= {XE E ; (t, x) E Dr}
est un ouvert de E. Lorsque cet ouvert est non vide, l'application x i---+ Wt(x) =
\ll(t, x) est un homéomorphisme localement lipschitzien de Ut sur U_t, dont
l'inverse est '11-t·
Preuve: Puisque D est ouvert, ( { t1 } x { t0 } x E) nD est un ouvert de { t1} x { t0 } x E,
dont l'image, par la projection sur le troisième facteur, est U(ti,to)· La restriction à
{ t 1 } x { t 0 } x E de la projection de lR x lR x E sur son troisième facteur étant un
homéomorphisme, U(ti,to) est un ouvert de E. L'application qui se déduit de
cl> en donnant des valeurs fixes aux deux premières variables, est continue et localement
lipschitzienne, car d'après le théorème précédent, cl> elle-même est continue et localement
lipschitzienne. Nous avons vu d'autre part (2.4) que sur U(to,ti). et a pour inverse Les propriétés analogues concernant le flot réduit d'une équation différentielle autonome
s'en déduisent immédiatement.
D