§ 3. Équations différentielles dépendant d'un paramètre
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3. Équations différentielles dépendant d'un paramètre
3.1. Le problème étudié. - Soient E un espace de Banach réel, A un espace topologique,
n un ouvert de lR x E x A, et f : n ----> E une application. Nous considérons dans ce
paragraphe 1 'équation différentielle
cp'(t) = J(t, cp(t), .X)'
dans laquelle l'élément À de A est considéré comme un paramètre. Nous supposerons
que pour chaque À E A, cette équation satisfait les conditions du théorème d'existence et
d'unicité V.2.10. Nous allons nous intéresser à la continuité de son flot, qui est maintenant
un fonction de quatre variables, t, t0 , x0 et À.
Lorsque A est un espace de Banach (ou un ouvert d'un tel espace), nous allons voir que la
valeur du paramètre À peut être considérée comme faisant partie de la donnée de Cauchy.
L'étude faite dans le paragraphe précédent va nous permettre d'établir le résultat suivant.
3.2. Théorème. -
Soient E et A deux espaces de Banach réels, n un ouvert de
lR x E x A et f : n ----> E une application continue, et localement lipschitzienne
relativement à ses deux dernières variables (x0 , .X) E Ex A. On considère l'équation
différentielle
cp'(t) = f (t, cp(t), .X).
Pour tout À E A, on note >. son flot, et D>. l'ouvert de lR x lR x E sur lequel il
est défi.ni. Soit
D = { (t, t0 , x0 , .X) E lR x lR x E x A ; (t, t0 , xo) E D>. } ,
et : D ----> E l'application
(t, to, xo, .X)~ (t, to, xo, .X) = <1>.>.(t, to, xo).
Alors D est un ouvert de lR x lR x Ex A, et l'application est continue et localement
lipschitzienne.
Preuve: Soit F: n----> Ex A l'application
F(t,(x,y)) = (f(t,x,y),O).
Nous pouvons lui associer l'équation différentielle, dans l'espace E x A,
1/J'(t) = F(t,îjJ(t)).
L'application Fest continue et localement lipschitzienne relativement à sa seconde variable
(x, y) E Ex A. Les théorèmes d'existence et d'unicité V.2.10 et de continuité du flot 2.7
lui sont applicables, et montrent que le flot '1! de cette équation est une application continue
et localement lipschitzienne, définie sur un ouvert D de lR x lR x (E x A).
En explicitant les composantes d'une solution 1/J de l'équation ( **) sous la forme
îjJ(t) = ( cp( t), x( t)), nous voyons que cette équation s'écrit
cp'(t) = J(t,cp(t),x(t)),
x'(t)=O.
La seconde équation montre immédiatement que la seconde composante t ~ x( t) de toute
solution de (**)est une application constante; soit À E A sa valeur. La première équation
montre alors que la première composante t ~ cp( t) de cette solution de ( **) est solution
de l'équation (*),pour la valeur À du paramètre. Réciproquement, si t ~ cp(t) est solution
de l'équation (*)pour la valeur À du paramètre, t ~ ( cp(t), .X) est solution de ( **).Par
suite, le flot '1! de ( **) n'est autre que
\J!(t,to,(Xo,À)) = ((t,to,Xo,À),À),