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Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
et les propriétés de que l'on veut établir découlent immédiatement de celles de '11. D
La méthode utilisée ci-dessus n'est plus applicable lorsque A est un espace topologique
sur lequel on n'a pas défini la notion de différentiabilité. Cependant, le théorème ci-dessus
reste applicable, sous la forme suivante, légèrement plus générale.
3.3. Théorème. -
Soient E un espace de Banach réel, A un espace topologique,
n un ouvert de IR x E x A et f : n ~ E une application continue, localement lipschitzienne relativement à sa seconde variable. On considère l'équation différentielle
cp'(t) = f(t, cp(t), À).
Pour chaque À E A fixé, on note >. son flot, et on pose
(t, ta, xa, À) = >. (t, ta, xa).
Alors l'application est définie sur un ouvert de IR x IR x E x A; elle est continue
sur cet ouvert, et localement lipschitzienne relativement à l'ensemble de ses trois
premières variables (t, ta, xa) E IR x IR x E.
Preuve : Nous n'en indiquerons que les grandes lignes. Nous avons établi dans le
chapitre précédent une version du théorème de Cauchy-Lipschitz adaptée aux équations
différentielles dépendant d'un paramètre, de la forme considérée ici (théorème V.2.9).
D'après ce théorème, la solution locale du problème de Cauchy est fonction continue du
paramètre À E A. On peut alors adapter la démonstration des lemmes 2.5 et 2.6, puis
procéder comme pour la démonstration du théorème 2.7.
D
4. La différentiabilité du flot
Nous nous intéressons dans ce paragraphe à la différentiabilité et à la régularité du flot
d'une équation différentielle par rapport à l'ensemble des variables dont ce flot dépend. Un
premier résultat très simple, portant sur la régularité par rapport à la variable indépendante,
est donné par la proposition suivante.
4.1. Proposition. -
Soient E un espace de Banach réel, n un ouvert de IR x E, et
f: n ~ E une application. On considère l'équation différentielle
cp'(t) = f(t,cp(t)).
(1)
Si l'application f est continue, toute solution de cette équation est différentiable
et de classe ci sur son intervalle de définition.
Si l'application f est différentiable et de classe CP (avec p 2: l), toute solution de
l'équation (1) est différentiable et de classe CP+i sur son intervalle de définition.
Preuve: Soit cp : I ~ E une solution de l'équation (1). Par définition, elle est différentiable
sur son intervalle de définition I, donc, a fortiori, continue sur I, et sa dérivée, en chaque
point t de I, a pour expression cp' (t) = f ( t, cp(t)).
Supposons l'application f continue. L'application cp' est alors continue sur I, puisque
composée de t t-t ( t, cp( t)), continue car ses deux composantes le sont, et de f, continue
par hypothèse. L'application cp, dérivable et à dérivée continue, est alors de classe ci.
Supposons l'application f différentiable et de classe CP, avec p 2: 1. D'après ce qui
précède, la solution cp est de classe ci. Faisons l'hypothèse de récurrence suivante : la
solution cp est de classe Cq, pour un certain entier q vérifiant 1 :S q :S p. L'application
cp' est alors aussi de classe Cq, car composée de t t-t ( t, cp( t)) et de f, toutes deux de
classe Cq. Mais alors cp est de classe cq+ i puisque sa dérivée cp' est de classe Cq. Comme
Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
et les propriétés de que l'on veut établir découlent immédiatement de celles de '11. D
La méthode utilisée ci-dessus n'est plus applicable lorsque A est un espace topologique
sur lequel on n'a pas défini la notion de différentiabilité. Cependant, le théorème ci-dessus
reste applicable, sous la forme suivante, légèrement plus générale.
3.3. Théorème. -
Soient E un espace de Banach réel, A un espace topologique,
n un ouvert de IR x E x A et f : n ~ E une application continue, localement lipschitzienne relativement à sa seconde variable. On considère l'équation différentielle
cp'(t) = f(t, cp(t), À).
Pour chaque À E A fixé, on note >. son flot, et on pose
(t, ta, xa, À) = >. (t, ta, xa).
Alors l'application est définie sur un ouvert de IR x IR x E x A; elle est continue
sur cet ouvert, et localement lipschitzienne relativement à l'ensemble de ses trois
premières variables (t, ta, xa) E IR x IR x E.
Preuve : Nous n'en indiquerons que les grandes lignes. Nous avons établi dans le
chapitre précédent une version du théorème de Cauchy-Lipschitz adaptée aux équations
différentielles dépendant d'un paramètre, de la forme considérée ici (théorème V.2.9).
D'après ce théorème, la solution locale du problème de Cauchy est fonction continue du
paramètre À E A. On peut alors adapter la démonstration des lemmes 2.5 et 2.6, puis
procéder comme pour la démonstration du théorème 2.7.
D
4. La différentiabilité du flot
Nous nous intéressons dans ce paragraphe à la différentiabilité et à la régularité du flot
d'une équation différentielle par rapport à l'ensemble des variables dont ce flot dépend. Un
premier résultat très simple, portant sur la régularité par rapport à la variable indépendante,
est donné par la proposition suivante.
4.1. Proposition. -
Soient E un espace de Banach réel, n un ouvert de IR x E, et
f: n ~ E une application. On considère l'équation différentielle
cp'(t) = f(t,cp(t)).
(1)
Si l'application f est continue, toute solution de cette équation est différentiable
et de classe ci sur son intervalle de définition.
Si l'application f est différentiable et de classe CP (avec p 2: l), toute solution de
l'équation (1) est différentiable et de classe CP+i sur son intervalle de définition.
Preuve: Soit cp : I ~ E une solution de l'équation (1). Par définition, elle est différentiable
sur son intervalle de définition I, donc, a fortiori, continue sur I, et sa dérivée, en chaque
point t de I, a pour expression cp' (t) = f ( t, cp(t)).
Supposons l'application f continue. L'application cp' est alors continue sur I, puisque
composée de t t-t ( t, cp( t)), continue car ses deux composantes le sont, et de f, continue
par hypothèse. L'application cp, dérivable et à dérivée continue, est alors de classe ci.
Supposons l'application f différentiable et de classe CP, avec p 2: 1. D'après ce qui
précède, la solution cp est de classe ci. Faisons l'hypothèse de récurrence suivante : la
solution cp est de classe Cq, pour un certain entier q vérifiant 1 :S q :S p. L'application
cp' est alors aussi de classe Cq, car composée de t t-t ( t, cp( t)) et de f, toutes deux de
classe Cq. Mais alors cp est de classe cq+ i puisque sa dérivée cp' est de classe Cq. Comme