§ 4. La différentiabilité du flot
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d'autre part notre hypothèse de récurrence est vraie pour q = 1, nous avons prouvé que 'P
est de classe CP+ 1 .
D
La proposition précédente montre évidemment que lorsque l'application f est différentiable de classe CP, avec p ;::: 1 (resp., continue), le flot (t, ta, xa) ~ (t, ta, xa) de
l'équation différentielle (1), lorsqu'il existe, est de classe CP+ 1 (resp., de classe C 1 ) par
rapport à sa première variable t E JR. L'étude de sa continuité par rapport à l'ensemble de
ses trois variables a été faite au paragraphe 2. Nous allons maintenant nous intéresser à la
différentiabilité du flot par rapport à sa troisième variable xa.
4.2. Proposition. -
Soient E un espace de Banach réel, n un ouvert de lR x E, et
f : n --+ E une application continue, ayant une différentielle partielle par rapport
à sa seconde variable, notée Dzf : n --+ .C(E, E), continue sur n. L'équation
différentielle
ip'(t) = f(t,ip(t))
(1)
possède alors les propriétés suivantes.
1. L'équation (1) satisfait les conditions du théorème d'existence et d'unicité
globales V.2.10.
2. Le flot : D --+ E de l'équation (1) possède, en tout point (t, s, u) de son
domaine de défl.nition D, une différentielle partielle par rapport à sa troisième
variable u E E, notée D3(t, s, u). Pour (s, u) E n B.xé, l'application, défl.nie sur
l'intervalle ouvert I(s,u) = { t E lR ; (t, s, u) E D }, et à valeurs dans .C(E, E),
t ~ 7/J(t) = D3(t, s, u),
est la solution maximale de l'équation différentielle
7/J'(t) = Dzf (t, (t, s, u)) o 7/J(t),
qui satisfait la donnée de Cauchy
7/J(s) = idE ·
3. Le flot est de classe C 1 sur son domaine de déflnition D.
Preuve:
1. Puisque La différentielle partielle D 2 f de f par rapport à sa seconde variable étant
continue, est localement bornée sur n. Tout point (s, u) den possède donc un voisinage
W c n, sur lequel Dzf est majorée en norme par une constante M ;::: O. En restreignant
éventuellement W, nous pouvons le supposer convexe. Pour tous t E JR, x1 et x2 E E tels
que (t, x1) et (t, x2 ) soient éléments de W, nous avons
llJ(t, x2) - f(t, xi) Il :S sup llDzf(t, z) l i llx2 - xill :S Mllx2 - xil!.
zE[x1,x2]
Nous avons prouvé que f est localement lipschitzienne relativement à sa seconde
variable. L'équation différentielle (1) satisfait donc bien les conditions d'application du
théorème V.2.1 O.
2. Dans le membre de droite de l'équation ( * ), (t, s, u) doit bien sûr être considéré
comme connu. Cette équation est une équation différentielle linéaire dans l'espace de
Banach .C(E, E), dépendant d'un paramètre (s, u) E lR x E. L'application (t, s, u) ~
Dzf (t, (t, s, u)) est continue, car composée de (t, s, u) ~ (t, (t, s, u)), dont les deux
composantes sont continues, et de Dzf, continue par hypothèse. Ainsi que nous le verrons
dans le chapitre VII, cette équation satisfait les conditions d'application du théorème
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d'autre part notre hypothèse de récurrence est vraie pour q = 1, nous avons prouvé que 'P
est de classe CP+ 1 .
D
La proposition précédente montre évidemment que lorsque l'application f est différentiable de classe CP, avec p ;::: 1 (resp., continue), le flot (t, ta, xa) ~ (t, ta, xa) de
l'équation différentielle (1), lorsqu'il existe, est de classe CP+ 1 (resp., de classe C 1 ) par
rapport à sa première variable t E JR. L'étude de sa continuité par rapport à l'ensemble de
ses trois variables a été faite au paragraphe 2. Nous allons maintenant nous intéresser à la
différentiabilité du flot par rapport à sa troisième variable xa.
4.2. Proposition. -
Soient E un espace de Banach réel, n un ouvert de lR x E, et
f : n --+ E une application continue, ayant une différentielle partielle par rapport
à sa seconde variable, notée Dzf : n --+ .C(E, E), continue sur n. L'équation
différentielle
ip'(t) = f(t,ip(t))
(1)
possède alors les propriétés suivantes.
1. L'équation (1) satisfait les conditions du théorème d'existence et d'unicité
globales V.2.10.
2. Le flot : D --+ E de l'équation (1) possède, en tout point (t, s, u) de son
domaine de défl.nition D, une différentielle partielle par rapport à sa troisième
variable u E E, notée D3(t, s, u). Pour (s, u) E n B.xé, l'application, défl.nie sur
l'intervalle ouvert I(s,u) = { t E lR ; (t, s, u) E D }, et à valeurs dans .C(E, E),
t ~ 7/J(t) = D3(t, s, u),
est la solution maximale de l'équation différentielle
7/J'(t) = Dzf (t, (t, s, u)) o 7/J(t),
qui satisfait la donnée de Cauchy
7/J(s) = idE ·
3. Le flot est de classe C 1 sur son domaine de déflnition D.
Preuve:
1. Puisque La différentielle partielle D 2 f de f par rapport à sa seconde variable étant
continue, est localement bornée sur n. Tout point (s, u) den possède donc un voisinage
W c n, sur lequel Dzf est majorée en norme par une constante M ;::: O. En restreignant
éventuellement W, nous pouvons le supposer convexe. Pour tous t E JR, x1 et x2 E E tels
que (t, x1) et (t, x2 ) soient éléments de W, nous avons
llJ(t, x2) - f(t, xi) Il :S sup llDzf(t, z) l i llx2 - xill :S Mllx2 - xil!.
zE[x1,x2]
Nous avons prouvé que f est localement lipschitzienne relativement à sa seconde
variable. L'équation différentielle (1) satisfait donc bien les conditions d'application du
théorème V.2.1 O.
2. Dans le membre de droite de l'équation ( * ), (t, s, u) doit bien sûr être considéré
comme connu. Cette équation est une équation différentielle linéaire dans l'espace de
Banach .C(E, E), dépendant d'un paramètre (s, u) E lR x E. L'application (t, s, u) ~
Dzf (t, (t, s, u)) est continue, car composée de (t, s, u) ~ (t, (t, s, u)), dont les deux
composantes sont continues, et de Dzf, continue par hypothèse. Ainsi que nous le verrons
dans le chapitre VII, cette équation satisfait les conditions d'application du théorème