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Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
d'existence et d'unicité globales. Pour chaque valeur (s, u) du paramètre, elle admet une
solution maximale unique satisfaisant la donnée de Cauchy (s, idE), que nous noterons
t ~ H ( t, s, u). Ainsi que nous le verrons bientôt (théorème VIl.1.2), cette solution est
définie pour tout t E I(s,u)· Le théorème 2.7 permet en outre d'affirmer que l'application
H: D--> C(E, E) est continue.
Soit (t1, s, u0 ) E D. Supposons, par exemple, t1 2: s. Puisque D est ouvert, il existe un
voisinage convexe V de u0 dans Etel que, pour tout u E V, (t1, s, u) E D. La solution
t ~ ( t, s, u) de l'équation différentielle ( 1) étant définie sur un intervalle contenant s et
t 1 , nous voyons que pour tout t E [s, t 1], (t, s, u) E D. Nous pouvons donc définir, pour
tout u E V et tout t E [s, t 1 ],
h(t, u) = (t, s, u) - (t, s, uo) - H(t, s, uo)(u - uo).
Pour prouver que H(t1,s,uo) est la différentielle de l'application u ~ (t1,s,u) au
point u0 , il suffit de prouver que, pour u E V,
h(t1, u) = o(llu - uoll) ·
Pour tout u E V, l'application t ~ h(t, u) est dérivable en tout point de [s, t 1], et a pour
dérivée
a
a
a
(a
)
at h(t, u) = at (t, s, u) - at (t, s, u0 ) - at H(t, s, u0 ) (u - u0 )
= f(t, (t, s, u)) - f(t, (t, s, u0 ))
- D2f(t, (t, s, uo)) o H(t, s, uo) (u - uo).
En ajoutant et retranchant du membre de droite de la dernière égalité l'expression
D2f(t,(t,s,uo))((t,s,u)-(t,s,uo)),
nous pouvons écrire
a
at h(t,u) = f(t,(t,s,u)) -J(t,(t,s,uo))
- D2f ( t, (t, s, uo) )( (t, s, u) - (t, s, uo))
+ D2f ( t, (t, s, uo)) h(t, u).
Lors de la démonstration du théorème 2. 7, nous avons vu que pour Il u-u0 11 assez petit, pour
tout t E [s,t1], le segment de droite joignant les points (t,(t,s,u)) et (t,(t,s,u0 ))
est contenu dans D. Le théorème des accroissements finis nous permet donc d'écrire
llJ(t,(t,s,u)) -f(t,(t,s,uo)) -D2f(t,(t,s,uo))((t,s,u)- (t,s,uo))ll
:S sup llD2f(t,À(t,s,u) + (l -À)(t,s,uo)) -D2f(t,(t,s,uo))ll
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ll(t, s, u) - (t, s, uo)ll ·
L'expression
llD2f (t, À(t, s, u) + (1 - À)(t, s, uo)) - D2f ( t, (t, s, uo)) Il
est une fonction continue de (t, À, u), qui, pour chaque À E [O, 1] et chaque t E [s, t1], tend
vers 0 lorsque u tend vers u0 . Les intervalles [O, 1] et [s, t 1] étant compacts, nous pouvons
affirmer que pour tout E: > 0, il existe T/ > 0 tel que, pour tous À E [ü, 1], t E [s, t 1] et
u E V vérifiant llu - uoll :S ry, cette expression soit::.; E:. Nous avons donc, pour tout
t E [s, t1] et tout u E V vérifiant llu - uo 11 :S TJ,
11:t h(t,u)ll :S E:ll(t,s,u)-(t,s,uo)ll + llD2f(t,(t,s,uo))ll 11h(t,u)ll ·