§ 4. La différentiabilité du flot
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Nous savons aussi (2.7) que pour /lu - uoll assez petit, il existe k 2: 0 tel que, pour tout
t E [s, ti],
ll4>(t, s, u) - 4>(t, s, uo) Il ~ kllu - uo Il ·
D'autre part, l'application t ~ Dzf ( t, 4>(t, s, u0 )), étant continue, est majorée en norme
sur l'intervalle compact [s, t 1] par un réel M > O. Nous avons donc
Il :t h(t, u)ll ~ ekllu - uoll + Mllh(t, u)ll ·
Le lemme de Gronwall implique alors, pour tout t E [s, t 1] et tout u E V vérifiant
llu - uoll ~ 'f/,
llh(t, u)ll ~ € kllu - uoll~Mlt-sl - 1).
Cette inégalité est en particulier satisfaite pour t = t1, et montre, puisque t: > 0 peut être
choisi arbitrairement petit, que h(t1, u) = o(llu - u0 ll), c'est-à-dire que H(t1, s, u0 ) est
la différentielle de l'application u ~ 4>(t1, s, u) au point u0 .
3. D'après la définition même du flot, l'application (t, s, u) ~ 4>(t, s, u) a pour dérivée
partielle par rapport à sa première variable
{)
at 4>(t,s,u) = f(t,4>(t,s,u)).
Cette dérivée partielle est continue sur D, car composée de (t, s, u) ~ ( t, 4>(t, s, u)), qui
est continue puisque q> est continue, et de f, continue aussi.
Nous avons aussi montré ci-dessus que la différentielle partielle de q> par rapport à sa
troisième variable est la solution maximale du problème de Cauchy
{
'l/J'(t) = Dzf(t, 4>(t, s, u)) o 'lf;(t),
'lj;(s) = idE .
Il s'agit d'une équation différentielle dépendant d'un paramètre (s, u), à laquelle le
théorème 3.2 s'applique. Nous voyons donc que la différentielle partielle de q> par rappmt
à sa troisième variable est continue.
D'après les règles de composition du flot, nous avons
4>(s,t,4>(t,s,u)) = u.
En différentiant cette expression par rapport à u, nous obtenons
D34>(s, t, 4>(t, s, u)) o D34>(t, s, u) = idE .
Ceci montre que D34>(t,s,u) est un élément inversible de C(E,E). Mais alors, nous
pouvons appliquer le théorème des fonctions implicites à l'équation (dans laquelle
l'inconnue est l'élément v de E, les variables indépendantes s E R et u E E, le réel
t étant considéré comme fixé),
4>(s,t,v)=u.
Ce théorème nous permet d'affirmer que la solution de cette équation implicite, qui n'est
autre que V = 4>(t, s, u), est fonction de classe C 1 de (s, u). En particulier, la dérivée
partielle de l'application (t, s, u) ~ 4>(t, s, u) par rapport à sa seconde variables E R
existe et est continue sur D.
L'application q>, dont les différentielles partielles par rapport aux trois variables dont elle
dépend existent et sont continues sur D, est de classe C 1 sur D (théorème 1.5.10).
D
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Nous savons aussi (2.7) que pour /lu - uoll assez petit, il existe k 2: 0 tel que, pour tout
t E [s, ti],
ll4>(t, s, u) - 4>(t, s, uo) Il ~ kllu - uo Il ·
D'autre part, l'application t ~ Dzf ( t, 4>(t, s, u0 )), étant continue, est majorée en norme
sur l'intervalle compact [s, t 1] par un réel M > O. Nous avons donc
Il :t h(t, u)ll ~ ekllu - uoll + Mllh(t, u)ll ·
Le lemme de Gronwall implique alors, pour tout t E [s, t 1] et tout u E V vérifiant
llu - uoll ~ 'f/,
llh(t, u)ll ~ € kllu - uoll~Mlt-sl - 1).
Cette inégalité est en particulier satisfaite pour t = t1, et montre, puisque t: > 0 peut être
choisi arbitrairement petit, que h(t1, u) = o(llu - u0 ll), c'est-à-dire que H(t1, s, u0 ) est
la différentielle de l'application u ~ 4>(t1, s, u) au point u0 .
3. D'après la définition même du flot, l'application (t, s, u) ~ 4>(t, s, u) a pour dérivée
partielle par rapport à sa première variable
{)
at 4>(t,s,u) = f(t,4>(t,s,u)).
Cette dérivée partielle est continue sur D, car composée de (t, s, u) ~ ( t, 4>(t, s, u)), qui
est continue puisque q> est continue, et de f, continue aussi.
Nous avons aussi montré ci-dessus que la différentielle partielle de q> par rapport à sa
troisième variable est la solution maximale du problème de Cauchy
{
'l/J'(t) = Dzf(t, 4>(t, s, u)) o 'lf;(t),
'lj;(s) = idE .
Il s'agit d'une équation différentielle dépendant d'un paramètre (s, u), à laquelle le
théorème 3.2 s'applique. Nous voyons donc que la différentielle partielle de q> par rappmt
à sa troisième variable est continue.
D'après les règles de composition du flot, nous avons
4>(s,t,4>(t,s,u)) = u.
En différentiant cette expression par rapport à u, nous obtenons
D34>(s, t, 4>(t, s, u)) o D34>(t, s, u) = idE .
Ceci montre que D34>(t,s,u) est un élément inversible de C(E,E). Mais alors, nous
pouvons appliquer le théorème des fonctions implicites à l'équation (dans laquelle
l'inconnue est l'élément v de E, les variables indépendantes s E R et u E E, le réel
t étant considéré comme fixé),
4>(s,t,v)=u.
Ce théorème nous permet d'affirmer que la solution de cette équation implicite, qui n'est
autre que V = 4>(t, s, u), est fonction de classe C 1 de (s, u). En particulier, la dérivée
partielle de l'application (t, s, u) ~ 4>(t, s, u) par rapport à sa seconde variables E R
existe et est continue sur D.
L'application q>, dont les différentielles partielles par rapport aux trois variables dont elle
dépend existent et sont continues sur D, est de classe C 1 sur D (théorème 1.5.10).
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