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Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
4.3. Remarque. - Dans les hypothèses de la proposition précédente, il est facile d'obtenir
l'expression de la dérivée partielle du flot par rapport à sa seconde variable. Il suffit en
effet de dériver par rapport à la variable réelles les deux membres de l'identité
(t, s, (s, t, v)) = v.
Le membre de droite ne dépendant pas des, nous obtenons, en posant (s, t, v) = u,
8(t, s, u) D (
) 8(s, t, v) _ 0
as
+ 3 t, s, u
as
- .
Mais d'autre part
8(s, t, v)
f( (
))
( )
Bs
= s, S, t, V = f s, U ,
et nous obtenons
8(t,s,u)
(
)( ( ))
Bs
=-Dat,s,u f s,u .
4.4. Théorème. -
Soient E un espace de Banach réel, n un ouvert de lR x E, et
f : n ---+ E une application différentiable de classe CP, avec p ~ 1. Alors le flot
de l'équation différentielle
cp'(t) = f(t,cp(t))
(1)
est différentiable de classe CP.
Preuve: Pour tout entier q ~ 1, soit H(q) l'hypothèse suivante: le flot de toute équation
différentielle dans un espace de Banach réel F, de la forme
7/J'(t)=g(t,7/J(t)),
(*)
où g est une application différentiable de classe Cq d'un ouvert W de lR x F dans F, est
de classe cq.
D'après la proposition précédente, l'hypothèse H(l) est vraie. Nous allons montrer que si
H(q) est vraie, alors H(q + 1) est vraie. Considérons donc l'équation différentielle (1), et
supposons f de classe CP, avec p = q + 1. Soit (t, s, u) t--t (t, s, u) son flot. L'équation
(1) vérifiant les conditions d'application de l'hypothèse de récurrence H(q), son flot
est de classe Cq. Nous allons montrer que les dérivées (ou différentielles) partielles de
, par rapport à chacune de ses trois variables, sont de classe Cq. Cela prouvera que la
différentielle de est de classe Cq, donc que est de classe cq+i.
La dérivée partielle de par rapport à sa première variable a pour expression
8(t, s, u) = f ( (
))
at
t, t,s,u '
ce qui prouve qu'elle est de classe Cq, puisque composée de ( t, s, u) t--t ( t, ( t, s, u)),
dont les deux composantes sont de classe cq' et de f' aussi de classe cq.
D'après 4.2, la différentielle partielle de par rapport à sa troisième variable, notée
D 3 (t, s, u), est solution de l'équation différentielle
7/J'(t) = D2f (t, (t, s, u)) o 7/J(t),
et satisfait la donnée de Cauchy
7/J(s) = idE .
C'est une équation différentielle dépendant d'un paramètre (s, u) E lR x E. En procédant
comme dans la démonstration du théorème 3.2, nous incorporons ce paramètre dans la
donnée de Cauchy, en formant l'équation différentielle à trois composantes
{
7/J:(t) = D2f (t, (t, s(t), u(t))) o 7/J(t),
s(t)=O,
u'(t) = 0.