§ 5. Exercices
163
C'est une équation différentielle de la forme (*),dans l'espace .C(E, E) x lR x E, avec
w = .C(E, E) X n. Elle satisfait les conditions d'application de l'hypothèse de récurrence
H ( q); son flot est donc de classe Cq.
Or la différentielle partielle de par rapport à sa troisième variable n'est autre que la
première composante (sur le facteur .C(E, E)) du flot de l'équation ( **),dans laquelle on
donne une valeur fixe idE à la première composante de la donnée de Cauchy. Nous voyons
ainsi que (t, s, u) ~ D 3 (t, s, u) est de classe Cq.
Enfin la dérivée partielle du flot par rapport à sa seconde variable a pour expression
(remarque 4.3)
8(t,s,u)
(
)(!( ))
os
= -D3 t,s,u s,u ,
ce qui prouve qu'elle est de classe cq.
En résumé, nous avons prouvé que l'hypothèse H(l) est vraie et que, pour tout entier
q 2 1, si H ( q) est vraie, H ( q + 1) est vraie. L'hypothèse H ( q) est donc vraie pour tout
entier q 2 1, ce qui établit le résultat annoncé.
D
Le résultat ci-dessous traite enfin de la différentiabilité du flot d'une équation différentielle
dépendant d'un paramètre.
4.5. Théorème. -
Soient E et F deux espaces de Banach réels, 0 un ouvert de
lR x E x F, et f : 0 ---t E une application différentiable de classe CP, avec p 2 1.
Le flot de l'équation différentielle avec paramètre
.)'
considéré comme fonction de la variable indépendante t E E, de la donnée de
Cauchy (s, u) E lR x E, et du paramètre À E F, est différentiable de classe CP.
Preuve : Il suffit d'utiliser la méthode (présentée dans la démonstration de 3.2, et utilisée
aussi dans la démonstration ci-dessus) consistant à incorporer la valeur du paramètre dans
la donnée de Cauchy, et à appliquer le théorème précédent.
D
S. Exercices
Exercice Vl.1.
1) On considère l'équation différentielle sur lR: x' ( t) = ( x( t)) 2 . Vérifier qu'elle satisfait
les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz. Déterminer son flot, puis son flot réduit.
On aura soin de préciser soigneusement leurs domaines de définition, ainsi que, pour
chaque donnée initiale x 0 E IR, l'intervalle de définition de la solution maximale de cette
équation prenant la valeur x 0 pour t = O.
2) Mêmes questions pour l'équation différentielle x' (t) = (x(t)) 2 - 4.
3) Mêmes questions pour l'équation différentielle x' ( t) = ( x ( t)) 3 .
4) Mêmes questions pour l'équation différentielle sur ]O, +oo[ x' (t) = -(2x(t) f 1.
Exercice Vl.2.
Soit E un IR-espace de Banach et f une application de classe C 1 de E
vers E. On suppose que f est bornée sur E.
Soit (x0 , y0 ) E E x E, t 0 E R Étudier l'existence et l'unicité d'une solution maximale
de l'équation différentielle x" (t) = f (x(t)) satisfaisant la donnée de Cauchy x(t0 ) = x0 ,
x' ( t 0 ) = y0 . Montrer que cette solution maximale est définie sur R
Exercice Vl.3.
Soit f une application continue de lR dans !Rn qui ne s'annule pas. On
considère l'équation différentielle:
d~~t) = sin(lly(t)ll)f(t).
(E)
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C'est une équation différentielle de la forme (*),dans l'espace .C(E, E) x lR x E, avec
w = .C(E, E) X n. Elle satisfait les conditions d'application de l'hypothèse de récurrence
H ( q); son flot est donc de classe Cq.
Or la différentielle partielle de par rapport à sa troisième variable n'est autre que la
première composante (sur le facteur .C(E, E)) du flot de l'équation ( **),dans laquelle on
donne une valeur fixe idE à la première composante de la donnée de Cauchy. Nous voyons
ainsi que (t, s, u) ~ D 3 (t, s, u) est de classe Cq.
Enfin la dérivée partielle du flot par rapport à sa seconde variable a pour expression
(remarque 4.3)
8(t,s,u)
(
)(!( ))
os
= -D3 t,s,u s,u ,
ce qui prouve qu'elle est de classe cq.
En résumé, nous avons prouvé que l'hypothèse H(l) est vraie et que, pour tout entier
q 2 1, si H ( q) est vraie, H ( q + 1) est vraie. L'hypothèse H ( q) est donc vraie pour tout
entier q 2 1, ce qui établit le résultat annoncé.
D
Le résultat ci-dessous traite enfin de la différentiabilité du flot d'une équation différentielle
dépendant d'un paramètre.
4.5. Théorème. -
Soient E et F deux espaces de Banach réels, 0 un ouvert de
lR x E x F, et f : 0 ---t E une application différentiable de classe CP, avec p 2 1.
Le flot de l'équation différentielle avec paramètre
considéré comme fonction de la variable indépendante t E E, de la donnée de
Cauchy (s, u) E lR x E, et du paramètre À E F, est différentiable de classe CP.
Preuve : Il suffit d'utiliser la méthode (présentée dans la démonstration de 3.2, et utilisée
aussi dans la démonstration ci-dessus) consistant à incorporer la valeur du paramètre dans
la donnée de Cauchy, et à appliquer le théorème précédent.
D
S. Exercices
Exercice Vl.1.
1) On considère l'équation différentielle sur lR: x' ( t) = ( x( t)) 2 . Vérifier qu'elle satisfait
les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz. Déterminer son flot, puis son flot réduit.
On aura soin de préciser soigneusement leurs domaines de définition, ainsi que, pour
chaque donnée initiale x 0 E IR, l'intervalle de définition de la solution maximale de cette
équation prenant la valeur x 0 pour t = O.
2) Mêmes questions pour l'équation différentielle x' (t) = (x(t)) 2 - 4.
3) Mêmes questions pour l'équation différentielle x' ( t) = ( x ( t)) 3 .
4) Mêmes questions pour l'équation différentielle sur ]O, +oo[ x' (t) = -(2x(t) f 1.
Exercice Vl.2.
Soit E un IR-espace de Banach et f une application de classe C 1 de E
vers E. On suppose que f est bornée sur E.
Soit (x0 , y0 ) E E x E, t 0 E R Étudier l'existence et l'unicité d'une solution maximale
de l'équation différentielle x" (t) = f (x(t)) satisfaisant la donnée de Cauchy x(t0 ) = x0 ,
x' ( t 0 ) = y0 . Montrer que cette solution maximale est définie sur R
Exercice Vl.3.
Soit f une application continue de lR dans !Rn qui ne s'annule pas. On
considère l'équation différentielle:
d~~t) = sin(lly(t)ll)f(t).
(E)