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Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
1) Soit (t0 , a) un point de lR x ffi.n. Monter qu'il existe une unique solution maximale y
de (E) telle que y(t0 ) =a.
.
2 a) Trouver les solutions constantes de l'équation (E).
2 b) Soit cp une solution maximale de (E). En utilisant 2 a, montrer que llcpll est une
fonction bornée et en déduire que cp est définie sur R
3) Soit M > 0 un nombre réel. On suppose que, pour tout réel t, on a llf(t)ll :SM. Soit
a un point de ffi.n et cp la solution maximale de (E) qui vérifie cp(O) = a. Montrer que
llcp(t)ll ~ lialle-Mltl.
Exercice VI.4. Dans cet exercice a est un nombre réel strictement positif.
1) Soit 'Y un réel strictement positif. Trouver la solution maximale ' 1/ J' "Y : I' "Y -+ lR de
léquation différentielle ' 1/J' ( t) = 1 2 + 'lj; 2 ( t) qui vérifie ' 1/ J' "Y (a) = O.
2) Soit f: lR x lR-+ lR l'application f(t, x) = t + x 2 .
2 a) Justifier l'existence et l'unicité d'une solution maximale cp: ]a, ,B[-+ lR de l'équation
différentielle cp' ( t) = f ( t, cp( t)) qui vérifie cp( a) = O.
2 b) On suppose 1 2 < a. Montrer que, si t E ]a, ,B[ nJ'"Y, on a cp(t) > '1/J'"Y(t). En déduire
que ,8 - a :S 2 fa et que limt-+/3 cp(t) = +oo.
2 c) On suppose 1 2 > a. Montrer que, si t E ]a, ,B[ n ]a, 1 2 [ nJ'"Y, on a cp(t) < '1/J'"Y(t). En
déduire que ]a, ,B[ contient ]a, 1 2 [ nJ'"Y.
2 d) Démontrer que 2
71" ::; ,8 - a, où /o est la racine positive de l'équation
'Yo
3
71"
'Y - a1 - 2 = 0 .
Exercice VI.5.
Soit I un intervalle ouvert de lR contenant 0, a un nombre réel. On
définit une application fo. : lR-+ lR en posant fo.(x) = /iXî +a.
1) On suppose a> 0 et on se limite à l'ouvert JO, +oo[.
1 a) Soient € > 0 et ,B > 0 deux réels. Montrer que l'équation différentielle ' 1/J' ( t)
fo.('1/J(t)) possède une unique solution maximale '1/Je, définie sur un intervalle ouvert J,
telle que '1/Je(€) = ,B (et '1/Je(t) > 0 pour tout t E J).
1 b) En utilisant la majoration JX::; x + 1/2, trouver une majoration de ' 1/Je et en déduire
que J contient l'intervalle [€, +oo[.
2) On suppose a > O. Soit cp : I -+ lR une solution de l'équation différentielle
cp'(t) = fo.(cp(t)) telle que cp(O) =O.
2 a) Montrer que cp est un C 1 -difféomorphisme de I sur un intervalle ouvert J. Pour y E J,
calculer ( cp- 1 )'(y).
2 b) En remarquant que (cp- 1 )'(y) ::; jyj- 1 / 2 , donner, pour t E Jn]O,+oo[, une
minoration de cp(t).
2 c) Soit € > O. Justifier l'existence d'une unique solution maximale ' 1/Je de l'équation
différentielle ' 1/J' ( t) = f o ( ' 1/J( t)) telle que 1/Je ( t) > 0 et limt-+e, t>e ' 1/Je ( t) = 0, et vérifier
qu'elle est définie sur ]€, +oo[. Montrer que, pour t E In]€, +oo[, on a cp(t) < '1/Je(t) et
retrouver la minoration obtenue en 2 b.
3) On note E l'espace de Banach des suites x = (xn, n E N) de nombres réels ayant
pour limite 0, muni de la norme llxll = ll(xn)ll = supnEN lxnl· On note Pn la n-ième
projection, Pn ( x) = Xn.
Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
1) Soit (t0 , a) un point de lR x ffi.n. Monter qu'il existe une unique solution maximale y
de (E) telle que y(t0 ) =a.
.
2 a) Trouver les solutions constantes de l'équation (E).
2 b) Soit cp une solution maximale de (E). En utilisant 2 a, montrer que llcpll est une
fonction bornée et en déduire que cp est définie sur R
3) Soit M > 0 un nombre réel. On suppose que, pour tout réel t, on a llf(t)ll :SM. Soit
a un point de ffi.n et cp la solution maximale de (E) qui vérifie cp(O) = a. Montrer que
llcp(t)ll ~ lialle-Mltl.
Exercice VI.4. Dans cet exercice a est un nombre réel strictement positif.
1) Soit 'Y un réel strictement positif. Trouver la solution maximale ' 1/ J' "Y : I' "Y -+ lR de
léquation différentielle ' 1/J' ( t) = 1 2 + 'lj; 2 ( t) qui vérifie ' 1/ J' "Y (a) = O.
2) Soit f: lR x lR-+ lR l'application f(t, x) = t + x 2 .
2 a) Justifier l'existence et l'unicité d'une solution maximale cp: ]a, ,B[-+ lR de l'équation
différentielle cp' ( t) = f ( t, cp( t)) qui vérifie cp( a) = O.
2 b) On suppose 1 2 < a. Montrer que, si t E ]a, ,B[ nJ'"Y, on a cp(t) > '1/J'"Y(t). En déduire
que ,8 - a :S 2 fa et que limt-+/3 cp(t) = +oo.
2 c) On suppose 1 2 > a. Montrer que, si t E ]a, ,B[ n ]a, 1 2 [ nJ'"Y, on a cp(t) < '1/J'"Y(t). En
déduire que ]a, ,B[ contient ]a, 1 2 [ nJ'"Y.
2 d) Démontrer que 2
71" ::; ,8 - a, où /o est la racine positive de l'équation
'Yo
3
71"
'Y - a1 - 2 = 0 .
Exercice VI.5.
Soit I un intervalle ouvert de lR contenant 0, a un nombre réel. On
définit une application fo. : lR-+ lR en posant fo.(x) = /iXî +a.
1) On suppose a> 0 et on se limite à l'ouvert JO, +oo[.
1 a) Soient € > 0 et ,B > 0 deux réels. Montrer que l'équation différentielle ' 1/J' ( t)
fo.('1/J(t)) possède une unique solution maximale '1/Je, définie sur un intervalle ouvert J,
telle que '1/Je(€) = ,B (et '1/Je(t) > 0 pour tout t E J).
1 b) En utilisant la majoration JX::; x + 1/2, trouver une majoration de ' 1/Je et en déduire
que J contient l'intervalle [€, +oo[.
2) On suppose a > O. Soit cp : I -+ lR une solution de l'équation différentielle
cp'(t) = fo.(cp(t)) telle que cp(O) =O.
2 a) Montrer que cp est un C 1 -difféomorphisme de I sur un intervalle ouvert J. Pour y E J,
calculer ( cp- 1 )'(y).
2 b) En remarquant que (cp- 1 )'(y) ::; jyj- 1 / 2 , donner, pour t E Jn]O,+oo[, une
minoration de cp(t).
2 c) Soit € > O. Justifier l'existence d'une unique solution maximale ' 1/Je de l'équation
différentielle ' 1/J' ( t) = f o ( ' 1/J( t)) telle que 1/Je ( t) > 0 et limt-+e, t>e ' 1/Je ( t) = 0, et vérifier
qu'elle est définie sur ]€, +oo[. Montrer que, pour t E In]€, +oo[, on a cp(t) < '1/Je(t) et
retrouver la minoration obtenue en 2 b.
3) On note E l'espace de Banach des suites x = (xn, n E N) de nombres réels ayant
pour limite 0, muni de la norme llxll = ll(xn)ll = supnEN lxnl· On note Pn la n-ième
projection, Pn ( x) = Xn.