§ 6. Solutions
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Soit a= (an) une suite fixée de E. On considère l'application f: E ---t E, f(x) =y, où
y = (Yn) est la suite ayant pour termes Yn = vîXJ +an. n E N.
3 a) Montrer que l'application f est continue. [On pourra utiliser la remarque suivante :
pour tout couple (a, b) E JR+ x JR+, (a - b) 2 ::; Ja 2 - b 2 1J.
3 b) On suppose qu'il existe une solution
3 c) Expliquer pourquoi le résultat précédent ne contredit pas les théorèmes d'existence
de Cauchy-Lipschitz V.2.7 et de Peano V.3.4.
Exercice Vl.6.
Soit E un IR-espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit
scalaire (x, y) 1-> (xJy). Soit a un réel, a> O.
On considère lapplication f : lR XE ---t Ede classe C 1 vérifiant, pour tout ( t, X) E lR XE'
l(x 1 J(t,x))I::; a(xlx).
On désigne par cp une solution de l'équation différentielle
cp'(t) = J(t,cp(t))'
et on note I son intervalle ouvert de définition.
1) On pose N(t) = ( cp(t) 1 cp(t)). Montrer que l'application N est dérivable sur I, calculer
sa dérivée et montrer qu'elle vérifie IN' (t) 1 ::; 2aN(t).
2) Soient t0 et t deux points de I. Comparer N(t) et N(t0 ).
3) Montrer que les solutions maximales de ( *) sont définies sur R
4) Montrer que les solutions maximales du système différentiel
{
dx(t)
-;ft = 2x(t) + ty(t) + y 2 (t),
d~~t) = -tx(t) + y(t) - x(t)y(t),
sont définies sur R
6. Solutions
Solution VI. l. On remarque d'abord que toutes les équations différentielles considérées dans cet exercice sont
de la forme x' ( t) = f ( x( t)), où f est une fonction différentiable de classe 0 00 , donc localement lipschitzienne.
Aussi, ces équations satisfont les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz.
1) Considérons l'équation différentielle x'(t) = (x(t)) 2 . La fonction nulle, définie sur IR, est évidemment
solution maximale. En raison de l'unicité, si une solution t f-+ x(t) ne s'annule pas pour une valeur particulière
to de son intervalle de définition, elle ne s'annule pour aucune valeur de t. Par continuité, elle garde un signe
constant. Pour déterminer cette solution, on peut séparer les variables en écrivant l'équation sons la forme
dx
- =dt,
x2
d'où par quadrature, en notant ( to, xo) la donnée de Cauchy,
x(t) = __ x_o _ _
1 + xo(to - t)
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Soit a= (an) une suite fixée de E. On considère l'application f: E ---t E, f(x) =y, où
y = (Yn) est la suite ayant pour termes Yn = vîXJ +an. n E N.
3 a) Montrer que l'application f est continue. [On pourra utiliser la remarque suivante :
pour tout couple (a, b) E JR+ x JR+, (a - b) 2 ::; Ja 2 - b 2 1J.
3 b) On suppose qu'il existe une solution
3 c) Expliquer pourquoi le résultat précédent ne contredit pas les théorèmes d'existence
de Cauchy-Lipschitz V.2.7 et de Peano V.3.4.
Exercice Vl.6.
Soit E un IR-espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit
scalaire (x, y) 1-> (xJy). Soit a un réel, a> O.
On considère lapplication f : lR XE ---t Ede classe C 1 vérifiant, pour tout ( t, X) E lR XE'
l(x 1 J(t,x))I::; a(xlx).
On désigne par cp une solution de l'équation différentielle
cp'(t) = J(t,cp(t))'
et on note I son intervalle ouvert de définition.
1) On pose N(t) = ( cp(t) 1 cp(t)). Montrer que l'application N est dérivable sur I, calculer
sa dérivée et montrer qu'elle vérifie IN' (t) 1 ::; 2aN(t).
2) Soient t0 et t deux points de I. Comparer N(t) et N(t0 ).
3) Montrer que les solutions maximales de ( *) sont définies sur R
4) Montrer que les solutions maximales du système différentiel
{
dx(t)
-;ft = 2x(t) + ty(t) + y 2 (t),
d~~t) = -tx(t) + y(t) - x(t)y(t),
sont définies sur R
6. Solutions
Solution VI. l. On remarque d'abord que toutes les équations différentielles considérées dans cet exercice sont
de la forme x' ( t) = f ( x( t)), où f est une fonction différentiable de classe 0 00 , donc localement lipschitzienne.
Aussi, ces équations satisfont les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz.
1) Considérons l'équation différentielle x'(t) = (x(t)) 2 . La fonction nulle, définie sur IR, est évidemment
solution maximale. En raison de l'unicité, si une solution t f-+ x(t) ne s'annule pas pour une valeur particulière
to de son intervalle de définition, elle ne s'annule pour aucune valeur de t. Par continuité, elle garde un signe
constant. Pour déterminer cette solution, on peut séparer les variables en écrivant l'équation sons la forme
dx
- =dt,
x2
d'où par quadrature, en notant ( to, xo) la donnée de Cauchy,
x(t) = __ x_o _ _
1 + xo(to - t)