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Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
Le dénominateur du membre de droite de cette expressions' annule pour t = to + x 0
1 . L'intervalle de définition
de la solution maximale qui satisfait la donnée de Cauchy ( to, xo) est le plus grand intervalle contenant to et ne
contenant pas td + x 0
1 . C'est donc
{
] -oo, to + ~ [
xo
1
]to + -, +oo[
xo
si xo > 0,
si xo Le flot de l'équation s'en déduit; c'est l'application , ayant pour expression
{
xo
(t, to,xo) = J + xo(to - t)
si xo =f. 0,
si xo =O.
Son domaine de définition est l'ensemble des (t, to, xo) E IR 3 qui vérifient
{
-oo < t < to + ~ si xo > 0,
xo
1
to + - < t < +oo si xo < 0,
Xo
t E IR
si xo = O.
Le flot réduit de l'équation s'en déduit en faisant to =O. C'est l'application
{
xo
.
_J, 0
(
)
(
)
- - -
SI XO r ,
t, xo >--+ Ill t, xo = 1 - txo
0
si xo =O.
Son domaine de définition est l'ensemble des (t, xo) E IR 2 qui vérifient txo < 1. Dans le plan (t, xo), c'est
l'ensemble des points compris entre les deux branches de l'hyperbole équilatère d'équation txo = 1.
2) On considère l'équation différentielle x' ( t) = ( x( t)) 2 - 4. Les solutions constantes, définies sur IR entier,
sont les applications constantes x(t) = 2 et x(t) = -2. En raison de l'unicité, toute autre solution t >--+ x(t)
qui, pour une valeur particulière to de t, prend une valeur xo autre que 2 et -2, ne prend les valeurs 2 ou -2
pour aucune valeur de t. Par continuité, x(t) - 2 et x(t) + 2 gardent un signe constant. Pour déterminer cette
solution on peut séparer les variables en écrivant léquation sous la forme
d'où par quadrature
dx
- - = d t ,
x 2 -4
ou encore ~-~=4dt,
x-2
x+2
lx(t) - 21
lxo - 21
ln I ( )
I - ln - 1
- -
1
= 4( t - to) .
X t + 2
Xü + 2
Puisque x(t) - 2 et x(t) + 2 gardent un signe constant, on en déduit
x(t) - 2
xo - 2
(
)
()
= - - exp 4(t-to) ,
X t + 2 Xü + 2
d'où finalement
xo + 2 + (xo - 2) exp(4(t- to))
x(t)=2
.
xo + 2- (xo -2)exp(4(t-to))
La solution maximale de l'équation qui satisfait la donnée de Cauchy (to, xo) est définie sur le plus grand
intervalle ouvert contenant to sur lequel le dénominateur du membre de droite de l'égalité ci-dessus ne s'annule
pas, c'est-à-dire sur lequel exp ( 4( t - to)) =I xo + 2 . Cet intervalle est
xo -2
{
] t 0 + 2:. ln xo + 2 , +oo [ si xo < -2,
4
xo - 2
IR
si - 2 :::; xo :::; 2,
]
1 xo + 2 [
-oo, to + - ln - - si 2 < xo.
4
xo -2