§ 6. Solutions
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Le flot de 1' équation, défini sur lensemble des ( t, to, xo) E IR 3 qui vérifient ces conditions, a pour expression
{
xo + 2 + (xo - 2)exp(4(t- to))
(t, t0 , xo) =
2 xo + 2 - (xo - 2) exp( 4(t - to))
-2
2
si xo =f. ±2,
si xo = -2,
si xo = 2.
Le flot réduit s'en déduit en faisant to = O. Il est défini sur l'ensemble des (t, xo) E IR 2 qui vérifient
{
1
xo+2
.
t > - in - - - SI XO < -2,
4
xo - 2
t E IR
si - 2 :::; xo :::; 2,
1
xo + 2
t < - ln - - - si 2 < xo.
4
xo - 2
3) On considère léquation différentielle x' ( t) = ( x( t)) 3 . En procédant comme dans la question l, on voit que
lapplication nulle, définie sur IR, est une solution maximale et que toute autre solution maximale, vérifiant la
donnée de Cauchy (to, xo). avec xo =f. 0, est donnée par
xo
x(t) =
.
J1+2x6(to - t)
Elle est définie sur le plus grand intervalle ouvert contenant to sur lequel l'expression qui figure au membre de
droite de l'égalité ci-dessus, sous le signe v• est strictement positive. C'est l'intervalle )-oo, to + ~ [.Le
2x 0
flot de léquation est lapplication
{
xo
(t, to, xo) = 0
J1 + 2x6(to - t)
si xo =f. 0,
si xo =O.
Il est défini sur l'ensemble des (t, to, xo) E IR 3 qui vérifient 2x6(t - to) < 1.
L'expression du flot réduit, et son domaine de définition, s'en déduisent en faisant to =O.
4) L'équation différentielle x' (t) = -( 2x(t) )1 , sur JO, +oo[, se résoud par séparation des variables, comme
celle considérée à la question l. La solution maximale vérifiant la donnée de Cauchy (to, xo). avec xo > 0,
est x(t) = J x6 + to - t. Elle est définie sur l'intervalle J - oo, to + x6(. Le flot de l'équation, défini sur
l'ensemble des (t, to, xo) E IR 2 x JO, +oo( qui vérifient t < to + x6. est l'application
(t,to,xo) = Jx6 +to -t.
Le flot réduit et son domaine de définition s'en déduisent en faisant to = O.
Solution VI.2. On pose M = supxEE f(x). Mettons l'équation différentielle
x"(t) = f (x(t))
(1)
sous forme canonique, comme indiqué en VI. l.4. Soit x : J -+ E une solution de cette équation. Pour t E J,
on pose cp( t) = ( x(t), x' ( t)). On introduit l'équation différentielle
X'(t) = F(t,X(t)),
(2)
où lapplication F : IR x E 2 -+ E 2 est définie par
F(t,X) = F(t,(x,y)) = (y,f(x)).
Ainsi x : J -+ E est solution (maximale) de l'équation différentielle (1) si et seulement si cp : J -+ E 2 est
solution (maximale) de l'équation différentielle (2).
L'application Fest de classe C 1 sur son domaine de définition, elle vérifie donc les conditions d'application
du théorème de Cauchy-Lipschitz (forme globale V.2.10), ce qui prouve l'existence et l'unicité d'une solution