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Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
maximale de (2) satisfaisant une donnée de Cauchy quelconque ( to, (xo, yo)). Il existe donc une unique solution
maximale x : I --> Ede (1) telle que x(to) = xo. x' (to) = yo.
Montrons maintenant que l = IR. Supposons par exemple la borne supérieure f3 de I finie (le raisonnement serait
analogue pour l'étude de sa borne inférieure). Choisissons pour norme dans Ex E ll(x, y)ll = llxll + llYll·
Puisque cp = (x, x') est solution de (2), sur l'intervalle I, on a, pour tout t E I, cp'(t) = F( t, cp(t)) =
( x' ( t), f ( x( t))), ce qui entraîne, puisque f est bornée par M sur E,
llcp'(t)ll S llcp(t)ll +M.
Nous pouvons appliquer à cp l'inégalité de Gronwall (1.7) ce qui donne, pour tout t E [to, /3[,
llcp(t) Il S llcp(to) llelt-to 1 + M ( elt-tol - 1) S llcp(to) lle,6-to + M ( e.B-to - 1) ,
ce qui prouve que cp est bornée sur l. Dans ces conditions, cp 1 l'est également et, d'après le théorème V.4.2, cp(t)
admet une limite f E E lorsque t tend vers {3. Le bout droit de la solution maximale cp est donc le singleton (/3, f)
qui, toujours d'après V.4.2 doit appartenir à la frontière de IR x E 2 . Mais celle-ci étant vide, il y a contradiction.
On a ainsi prouvé que f3 = +oo et donc finalement que I = IR.
Solution VI.3.
1) Soit F : IR x !Rn --> !Rn l'application F(t, y) = sin(llyll)J(t). Cette application est continue puisque f
l'est. De plus, le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction sin donne, pour tous y et y' E !Rn,
lsinllYll - sinlly'lll S lllYll - llY'lll S llY - y'll· On obtient alors, pour tous t E IR, y et y' E !Rn,
llF(t, y) - F(t, y')ll S 11/(t)ll llY - y' Il· Mais f est continue, donc bornée sur tout intervalle borné de IR;
l'inégalité précédente prouve donc que F est localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable y au
voisinage de chaque point de IR x !Rn. On peut appliquer le théorme V.2.10 à l'équation différentielle
dy(t) = sin(lly(t)ll)/(t),
dt
(E)
et conclure qu'elle possède une unique solution maximale y satisfaisant une donnée de Cauchy ( to, a) E IR x !Rn.
2 a) Les solutions maximales constantes de (E) sont définies sur IR. Ce sont les constantes llYll = k-rr, k E Z.
2 b) Soit cp une solution maximale de (E), I = Ja, b[ son intervalle de définition. Supposons que b E IRt. Soit
to E I et t E [to, b[. Puisque f est bornée sur [to, b[, posons M = supto::; t cp'(t) = sin(llcp(t)ll)/(t), donc llcp'(t)ll S Mllcp(t)ll· Grâce à l'inégalité de Gronwall 1.7, on en déduit
llcp(t)ll S llcp(to)lleM(t-to) S llcp(to)lleM(b-to),
ce qui prouve que cp est borné sur [to, b[. Par suite, cp' l'est aussi.
Le théorème des bouts V.4.3 s'applique : l'application cp admet une limite finie f quand t tend vers b, le bout droit
de cp contient l'unique élément (b, f) de IR x !Rn, qui doit appartenir à la frontière de IR x !Rn. C'est impossible
car celle-ci est vide. On a ainsi prouvé que b = +oo. Un raisonnement analogue prouverait que a = -oo.
L'application cp est donc définie sur R
3) Soit cp la solution maximale de (E) telle que cp(O) = a. Un raisonnement analogue à celui fait dans la question
précédente prouve que, pour tout t E IR. llcp'(t)ll S Mllcp(t)ll d'où, toujours d'après l'inégalité de Gronwall,
llalle-Mltl S llcp(t)ll S llalleMltl.
Solution VI.4.
1) L'application x ,...... "Y 2 + x 2 étant de classe Coo sur IR, le théorème de Cauchy-Lipschitz V.2. 10 s'applique
à l'équation différentielle autonome 'lf;'(t) = "Y 2 + 'f/; 2 (t). Cette équation admet donc une unique solution
maximale 'lj;'Y, définie sur un intervalle ouvert I'Y, vérifiant 'lf;'Y(a) = O. On remarque que .!, arctan(:'.)
"Y
"Y
a pour dérivée~· L'application 'lj;'Y vérifie donc .!.arctan('f/;'Y(t)) = t - a, ce qui implique que
"Y +x
"Y
"Y
"Y( t - a) E) - 7r /2, -rr /2[. L' application 'lj;'Y est donc définie sur l'intervalle I'Y = Ja - 7r /(2"Y) , a+ 7r / (2"Y) [,
et a pour expression 'lj;'Y ( t) = "Y tan ("Y( t - a)).
Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
maximale de (2) satisfaisant une donnée de Cauchy quelconque ( to, (xo, yo)). Il existe donc une unique solution
maximale x : I --> Ede (1) telle que x(to) = xo. x' (to) = yo.
Montrons maintenant que l = IR. Supposons par exemple la borne supérieure f3 de I finie (le raisonnement serait
analogue pour l'étude de sa borne inférieure). Choisissons pour norme dans Ex E ll(x, y)ll = llxll + llYll·
Puisque cp = (x, x') est solution de (2), sur l'intervalle I, on a, pour tout t E I, cp'(t) = F( t, cp(t)) =
( x' ( t), f ( x( t))), ce qui entraîne, puisque f est bornée par M sur E,
llcp'(t)ll S llcp(t)ll +M.
Nous pouvons appliquer à cp l'inégalité de Gronwall (1.7) ce qui donne, pour tout t E [to, /3[,
llcp(t) Il S llcp(to) llelt-to 1 + M ( elt-tol - 1) S llcp(to) lle,6-to + M ( e.B-to - 1) ,
ce qui prouve que cp est bornée sur l. Dans ces conditions, cp 1 l'est également et, d'après le théorème V.4.2, cp(t)
admet une limite f E E lorsque t tend vers {3. Le bout droit de la solution maximale cp est donc le singleton (/3, f)
qui, toujours d'après V.4.2 doit appartenir à la frontière de IR x E 2 . Mais celle-ci étant vide, il y a contradiction.
On a ainsi prouvé que f3 = +oo et donc finalement que I = IR.
Solution VI.3.
1) Soit F : IR x !Rn --> !Rn l'application F(t, y) = sin(llyll)J(t). Cette application est continue puisque f
l'est. De plus, le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction sin donne, pour tous y et y' E !Rn,
lsinllYll - sinlly'lll S lllYll - llY'lll S llY - y'll· On obtient alors, pour tous t E IR, y et y' E !Rn,
llF(t, y) - F(t, y')ll S 11/(t)ll llY - y' Il· Mais f est continue, donc bornée sur tout intervalle borné de IR;
l'inégalité précédente prouve donc que F est localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable y au
voisinage de chaque point de IR x !Rn. On peut appliquer le théorme V.2.10 à l'équation différentielle
dy(t) = sin(lly(t)ll)/(t),
dt
(E)
et conclure qu'elle possède une unique solution maximale y satisfaisant une donnée de Cauchy ( to, a) E IR x !Rn.
2 a) Les solutions maximales constantes de (E) sont définies sur IR. Ce sont les constantes llYll = k-rr, k E Z.
2 b) Soit cp une solution maximale de (E), I = Ja, b[ son intervalle de définition. Supposons que b E IRt. Soit
to E I et t E [to, b[. Puisque f est bornée sur [to, b[, posons M = supto::; t cp'(t) = sin(llcp(t)ll)/(t), donc llcp'(t)ll S Mllcp(t)ll· Grâce à l'inégalité de Gronwall 1.7, on en déduit
llcp(t)ll S llcp(to)lleM(t-to) S llcp(to)lleM(b-to),
ce qui prouve que cp est borné sur [to, b[. Par suite, cp' l'est aussi.
Le théorème des bouts V.4.3 s'applique : l'application cp admet une limite finie f quand t tend vers b, le bout droit
de cp contient l'unique élément (b, f) de IR x !Rn, qui doit appartenir à la frontière de IR x !Rn. C'est impossible
car celle-ci est vide. On a ainsi prouvé que b = +oo. Un raisonnement analogue prouverait que a = -oo.
L'application cp est donc définie sur R
3) Soit cp la solution maximale de (E) telle que cp(O) = a. Un raisonnement analogue à celui fait dans la question
précédente prouve que, pour tout t E IR. llcp'(t)ll S Mllcp(t)ll d'où, toujours d'après l'inégalité de Gronwall,
llalle-Mltl S llcp(t)ll S llalleMltl.
Solution VI.4.
1) L'application x ,...... "Y 2 + x 2 étant de classe Coo sur IR, le théorème de Cauchy-Lipschitz V.2. 10 s'applique
à l'équation différentielle autonome 'lf;'(t) = "Y 2 + 'f/; 2 (t). Cette équation admet donc une unique solution
maximale 'lj;'Y, définie sur un intervalle ouvert I'Y, vérifiant 'lf;'Y(a) = O. On remarque que .!, arctan(:'.)
"Y
"Y
a pour dérivée~· L'application 'lj;'Y vérifie donc .!.arctan('f/;'Y(t)) = t - a, ce qui implique que
"Y +x
"Y
"Y
"Y( t - a) E) - 7r /2, -rr /2[. L' application 'lj;'Y est donc définie sur l'intervalle I'Y = Ja - 7r /(2"Y) , a+ 7r / (2"Y) [,
et a pour expression 'lj;'Y ( t) = "Y tan ("Y( t - a)).