§ 6. Solutions
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2 a) L'application de lR x lR vers IR, f (t, x) = t + x 2 , est de classe e 00 , ce qui justifie (voir V.2.10) l'existence
et l'unicité d'une solution maximale rp de l'équation différentielle rp' (t) = f ( t, rp( t)) vérifiant rp( a) = O. Soit
Ja, ,6[ son intervalle de définition.
2 b) On suppose ' Y 2 < a. On a 1/J"t(a) = rp(a) et, pour tout (t, x) E [a, +oo[ xlR, ' Y 2 + x 2 < t + x 2 . On
applique le corollaire 1.2. pour conclure que, si t E Ja, ,6[ nl"I, on a rp(t) > 1/J"t(t).
Supposons ,6 > a + 7r /(2"f). Alors, pour tout t E [a, a + 7r /(2'Y)[, rp(t) > 1/J"t(t) et comme
limt-+a+.,,./(2"1) 1/J"t(t) = +oo, on a également limt-+a+.,,.;( 2"1) rp(t) = +oo, ce qui est impossible,
l'application rp étant définie au point a+ 7r/(2"f). Ainsi ,6:::; a+ 7r/(2"f). Ce résultat est vrai pour tout ' Y
vérifiant ' Y < fa, on obtient finalement ,6 - a :::; 7r / (2fo,).
Pour tout t E [a,,6[. on a rp'(t) = t + rp 2 (t) 2: a+ rp 2 (t). Puisque a> 0, l'application rp est strictement
croissante sur cet intervalle. De plus, elle n'est pas majorée, car si elle l'était, rp(t) aurait une limite e E lR
lorsque t --+ ,6, et le bout droit de rp contiendrait l'unique point (,6, e), ce qui est impossible d'après V.4.3, car
la frontière du domaine de définition de l'application f est vide. On a donc limt-+ f3 rp( t) = +oo.
2 c) On suppose ' Y 2 > a. On a 1/J"t(a) = rp(a) et, pour tout (t, x) E [a, ' Y 2 [ xlR, t + x 2 < ' Y 2 + x 2 , donc
(corollaire 1.2.), si t EJa,,6[nJa,"f 2 [nI"I, on arp(t) < 1/J"t(t).
Supposons maintenant ,6 < ' Y 2 et ,6 < a+ 7r /(2"f). Alors, pour tout t E Ja, ,6[, rp(t) < 1/J"t(t). Sur cet
intervalle, l'application rp est croissante, majorée par 1f;"l(,6), donc elle admet une limite au point ,6. Le bout
droit de rp ne serait pas vide, ce qui est impossible. On a donc ,6 2: "( 2 ou ,6 2: a + 7r / (2'Y); en d'autres termes,
Ja, ,6[ contient Ja, ' Y 2 [ nl"I.
2 d) On vérifie facilement que léquation ' Y 3 - a"( - 7r /2 = 0 a une unique racine strictement positive ' YO. Cette
racine vérifie aussi .,,5 = a+ 7r /(2'Yo ), donc a < ' Y5. On peut utiliser les résultats de la question précédente et
conclure que a+ 7r /(2'Yo) :::; ,6.
7r
7r
On a finalement obtenu l'encadrement -
< ,6 - a < r,::.
2'Yo -
- 2va
Solution VI.5.
1 a) Soit ê > 0 et ,6 > O. L'équation différentielle autonome 1f;' ( t) = f o: ( 1f;( t)) satisfait les hypothèses
du théorème de Cauchy-Lipschitz V.2.10, puisque f o: est de classe e 00 sur JO, +oo[. Elle possède donc une
solution maximale 1/Je et une seule vérifiant 1/Je(ê) = ,6. Soit J son intervalle de définition. Pour tout t E J,
1/Je (t) > 0, puisque 1f;,, prend ses valeurs dans JO, +oo[.
1 b) On vérifie que, pour tout x > 0, .,/X :::; x + 1/2. On a donc, pour tout t E J,
soit
Par l'inégalité de Gronwall 1.7, on obtient pour tout t E J vérifiant t 2: ê,
Supposons sup( J) = b < +oo. Nous avons donc, pour t E [ê, b[,
ce qui prouve que 1/Je est bornée sur [ê, b[. Par suite, 1f;~ lest aussi.
D'après le théorème V.4.3, 1/Je(t) a une limite finie e quand t--+ b. Or 1/J~ > 0 et par suite 1f;,, est croissante sur
[ê, b[ d'où e > O. Le bout droit de 1/Je contient le point (b, e), mais (b, e) E IRxJO, +oo[, ce qui est impossible
car, toujours d'après V.4.3, il devrait appartenir à la frontière de lR x JO, +oo [,qui est lR X { 0}, ce qui impliquerait
e =o.
Finalement, sup(J) = +oo et [ê, +oo[ C J.
2 a) Pour t E I, on a rp' ( t) > O. L'application rp, de classe et, est strictement croissante sur I. C'est un
1
et-difféomorphisme de I sur son image J = rp(I). Pour y E J, on a (rp-t)'(y) =
t( ) . Mais
rp' 0 rp- y
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2 a) L'application de lR x lR vers IR, f (t, x) = t + x 2 , est de classe e 00 , ce qui justifie (voir V.2.10) l'existence
et l'unicité d'une solution maximale rp de l'équation différentielle rp' (t) = f ( t, rp( t)) vérifiant rp( a) = O. Soit
Ja, ,6[ son intervalle de définition.
2 b) On suppose ' Y 2 < a. On a 1/J"t(a) = rp(a) et, pour tout (t, x) E [a, +oo[ xlR, ' Y 2 + x 2 < t + x 2 . On
applique le corollaire 1.2. pour conclure que, si t E Ja, ,6[ nl"I, on a rp(t) > 1/J"t(t).
Supposons ,6 > a + 7r /(2"f). Alors, pour tout t E [a, a + 7r /(2'Y)[, rp(t) > 1/J"t(t) et comme
limt-+a+.,,./(2"1) 1/J"t(t) = +oo, on a également limt-+a+.,,.;( 2"1) rp(t) = +oo, ce qui est impossible,
l'application rp étant définie au point a+ 7r/(2"f). Ainsi ,6:::; a+ 7r/(2"f). Ce résultat est vrai pour tout ' Y
vérifiant ' Y < fa, on obtient finalement ,6 - a :::; 7r / (2fo,).
Pour tout t E [a,,6[. on a rp'(t) = t + rp 2 (t) 2: a+ rp 2 (t). Puisque a> 0, l'application rp est strictement
croissante sur cet intervalle. De plus, elle n'est pas majorée, car si elle l'était, rp(t) aurait une limite e E lR
lorsque t --+ ,6, et le bout droit de rp contiendrait l'unique point (,6, e), ce qui est impossible d'après V.4.3, car
la frontière du domaine de définition de l'application f est vide. On a donc limt-+ f3 rp( t) = +oo.
2 c) On suppose ' Y 2 > a. On a 1/J"t(a) = rp(a) et, pour tout (t, x) E [a, ' Y 2 [ xlR, t + x 2 < ' Y 2 + x 2 , donc
(corollaire 1.2.), si t EJa,,6[nJa,"f 2 [nI"I, on arp(t) < 1/J"t(t).
Supposons maintenant ,6 < ' Y 2 et ,6 < a+ 7r /(2"f). Alors, pour tout t E Ja, ,6[, rp(t) < 1/J"t(t). Sur cet
intervalle, l'application rp est croissante, majorée par 1f;"l(,6), donc elle admet une limite au point ,6. Le bout
droit de rp ne serait pas vide, ce qui est impossible. On a donc ,6 2: "( 2 ou ,6 2: a + 7r / (2'Y); en d'autres termes,
Ja, ,6[ contient Ja, ' Y 2 [ nl"I.
2 d) On vérifie facilement que léquation ' Y 3 - a"( - 7r /2 = 0 a une unique racine strictement positive ' YO. Cette
racine vérifie aussi .,,5 = a+ 7r /(2'Yo ), donc a < ' Y5. On peut utiliser les résultats de la question précédente et
conclure que a+ 7r /(2'Yo) :::; ,6.
7r
7r
On a finalement obtenu l'encadrement -
< ,6 - a < r,::.
2'Yo -
- 2va
Solution VI.5.
1 a) Soit ê > 0 et ,6 > O. L'équation différentielle autonome 1f;' ( t) = f o: ( 1f;( t)) satisfait les hypothèses
du théorème de Cauchy-Lipschitz V.2.10, puisque f o: est de classe e 00 sur JO, +oo[. Elle possède donc une
solution maximale 1/Je et une seule vérifiant 1/Je(ê) = ,6. Soit J son intervalle de définition. Pour tout t E J,
1/Je (t) > 0, puisque 1f;,, prend ses valeurs dans JO, +oo[.
1 b) On vérifie que, pour tout x > 0, .,/X :::; x + 1/2. On a donc, pour tout t E J,
soit
Par l'inégalité de Gronwall 1.7, on obtient pour tout t E J vérifiant t 2: ê,
Supposons sup( J) = b < +oo. Nous avons donc, pour t E [ê, b[,
ce qui prouve que 1/Je est bornée sur [ê, b[. Par suite, 1f;~ lest aussi.
D'après le théorème V.4.3, 1/Je(t) a une limite finie e quand t--+ b. Or 1/J~ > 0 et par suite 1f;,, est croissante sur
[ê, b[ d'où e > O. Le bout droit de 1/Je contient le point (b, e), mais (b, e) E IRxJO, +oo[, ce qui est impossible
car, toujours d'après V.4.3, il devrait appartenir à la frontière de lR x JO, +oo [,qui est lR X { 0}, ce qui impliquerait
e =o.
Finalement, sup(J) = +oo et [ê, +oo[ C J.
2 a) Pour t E I, on a rp' ( t) > O. L'application rp, de classe et, est strictement croissante sur I. C'est un
1
et-difféomorphisme de I sur son image J = rp(I). Pour y E J, on a (rp-t)'(y) =
t( ) . Mais
rp' 0 rp- y