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Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
1
2 b) Comme a > 0, (c,o- 1 )'(y) < !Li' De plus, c,o- 1 (0) = O. Donc, pour y > 0, on obtient, en intégrant
ylYI
les deux membres de cette inégalité entre 0 et y, c,o- 1 (y) < 2..jY.
Soit t E I, t > O. On pose y = c,o(t). On a bien y > 0 puisque c,o est strictement croissante. L'inégalité
précédente devient t < 2J;(t} d'où, pour tout t E I, t > 0, t 2 /4 < c,o(t).
2 c) Toute solution maximale de l'équation différentielle 'l/J' (t) = fo ( 'l/J(t)) à valeurs dans JO, +oo( vérifie
2~ = t - k, où k est une constante réelle. Cette solution est définie sur ]k, +oo(. L'unique solution
maximale définie sur Je, +oo( qui vérifie 'l/Je(t) > 0 et limt ..... e, t>e 'l/Je(t) = 0, s'obtient en choisissant
k = ê. On a donc
( t ê)2
'l/Je(t) = ;
Les fonctions c,o et 'l/Je vérifient :
limt--e 'l/Je(t) < cp(ë),
pour tout t E ]ê, +oo( nI, 'ljJ~ (t) < f °' ( 'l/Je(t)).
Alors, par application du lemme 1.1, pourtout t E )ê + oo( nI, 'l/Je (t) < c,o(t).
Finalement, pour tout ê > 0 et tout t E Je, +oo( nI, (t - ê) 2 /4 < c,o(t). Par passage à la limite quand ê--+ 0,
on voit que pout tout t E I, t > 0, t 2 /4 $ c,o(t).
3a)Soientx = (xn, n E N)etx' = (x~, n E N)deuxélémentsdeE.Onadonc/(x)-/(x') = ( ~~. n E N).Pourtoutn EN, ( ~ - ~) 2 $ lxn-x~l.d'où llf(x)-f(x')ll 2 $ llx-x'll.
ce qui prouve la continuité de f sur E.
3 b) L'application Pn o une application linéaire continue et, en tout point x de E, p~ ( x) = Pn. Finalement,
Ceci prouve que Pn o
La minoration obtenue en 2 donne, pour tout t E I et tout n E N, t 2 / 4 $ Pn o
lipschitzienne au voisinage de 0 : si elle létait, Pn of le serait aussi, ce qui est impossible car sur IR, lapplication
x >--+ .JFI n'est pas localement lipschitzienne au voisinage de O.
Le théorème de Peano ne s'applique pas non plus, car l'espace E est de dimension infinie.
Solution Vl.6.
1) Soit c,o une solution, définie sur un intervalle ouvert I, de l'équation différentielle
c,o'(t) = f(t,c,o(t)).
L'application N est la composée de deux applications de classe C 1 : lapplication t >--+ ( c,o( t), c,o( t)), dont la
dérivée au point test ( c,o' ( t), c,o' ( t)); l'application produit scalaire (x, y) >--+ (xly ), bilinéaire continue, dont
la différentielle au point (x, y) est l'application linéaire (h, k) >--+ (xlk) + (hly). L'application N est donc de
classe C 1 . Sa dérivée au point t est donnée par la formule de déri'vation des fonctions composées :
N' ( t) = 2 ( c,o( t) 1 c,o' ( t)) .
Or pour tout (t, x) E IR x E, l'application f vérifie 1 ( x 1 /(t, x)) 1 $ a(xlx), ce qui implique, puisque
c,o' (t) = f ( t, c,o(t)), IN' (t)I $ 2aN(t).
2) L'inégalité précédente s'écrit encore, puisque N est positive sur I, IN' (t)I $ 2alN(t)I. Soient to et t deux
points de I. L'inégalité de Gronwall 1.7, appliquée à N, donne, pour tout t E I,
N(to)e-2alt-tol $ N(t) $ N(to)e2alt-tol.
Chapitre VI. Le flot d'une équation différentielle
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2 b) Comme a > 0, (c,o- 1 )'(y) < !Li' De plus, c,o- 1 (0) = O. Donc, pour y > 0, on obtient, en intégrant
ylYI
les deux membres de cette inégalité entre 0 et y, c,o- 1 (y) < 2..jY.
Soit t E I, t > O. On pose y = c,o(t). On a bien y > 0 puisque c,o est strictement croissante. L'inégalité
précédente devient t < 2J;(t} d'où, pour tout t E I, t > 0, t 2 /4 < c,o(t).
2 c) Toute solution maximale de l'équation différentielle 'l/J' (t) = fo ( 'l/J(t)) à valeurs dans JO, +oo( vérifie
2~ = t - k, où k est une constante réelle. Cette solution est définie sur ]k, +oo(. L'unique solution
maximale définie sur Je, +oo( qui vérifie 'l/Je(t) > 0 et limt ..... e, t>e 'l/Je(t) = 0, s'obtient en choisissant
k = ê. On a donc
( t ê)2
'l/Je(t) = ;
Les fonctions c,o et 'l/Je vérifient :
limt--
pour tout t E ]ê, +oo( nI, 'ljJ~ (t) < f °' ( 'l/Je(t)).
Alors, par application du lemme 1.1, pourtout t E )ê + oo( nI, 'l/Je (t) < c,o(t).
Finalement, pour tout ê > 0 et tout t E Je, +oo( nI, (t - ê) 2 /4 < c,o(t). Par passage à la limite quand ê--+ 0,
on voit que pout tout t E I, t > 0, t 2 /4 $ c,o(t).
3a)Soientx = (xn, n E N)etx' = (x~, n E N)deuxélémentsdeE.Onadonc/(x)-/(x') = ( ~~. n E N).Pourtoutn EN, ( ~ - ~) 2 $ lxn-x~l.d'où llf(x)-f(x')ll 2 $ llx-x'll.
ce qui prouve la continuité de f sur E.
3 b) L'application Pn o une application linéaire continue et, en tout point x de E, p~ ( x) = Pn. Finalement,
Ceci prouve que Pn o
La minoration obtenue en 2 donne, pour tout t E I et tout n E N, t 2 / 4 $ Pn o
lipschitzienne au voisinage de 0 : si elle létait, Pn of le serait aussi, ce qui est impossible car sur IR, lapplication
x >--+ .JFI n'est pas localement lipschitzienne au voisinage de O.
Le théorème de Peano ne s'applique pas non plus, car l'espace E est de dimension infinie.
Solution Vl.6.
1) Soit c,o une solution, définie sur un intervalle ouvert I, de l'équation différentielle
c,o'(t) = f(t,c,o(t)).
L'application N est la composée de deux applications de classe C 1 : lapplication t >--+ ( c,o( t), c,o( t)), dont la
dérivée au point test ( c,o' ( t), c,o' ( t)); l'application produit scalaire (x, y) >--+ (xly ), bilinéaire continue, dont
la différentielle au point (x, y) est l'application linéaire (h, k) >--+ (xlk) + (hly). L'application N est donc de
classe C 1 . Sa dérivée au point t est donnée par la formule de déri'vation des fonctions composées :
N' ( t) = 2 ( c,o( t) 1 c,o' ( t)) .
Or pour tout (t, x) E IR x E, l'application f vérifie 1 ( x 1 /(t, x)) 1 $ a(xlx), ce qui implique, puisque
c,o' (t) = f ( t, c,o(t)), IN' (t)I $ 2aN(t).
2) L'inégalité précédente s'écrit encore, puisque N est positive sur I, IN' (t)I $ 2alN(t)I. Soient to et t deux
points de I. L'inégalité de Gronwall 1.7, appliquée à N, donne, pour tout t E I,
N(to)e-2alt-tol $ N(t) $ N(to)e2alt-tol.