§ 6. Solutions
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3) On suppose maintenant que cp est une solution maximale de l'équation différnetielle ( * ), définie sur
l'intervalle ouvert I =]a, ,B[. Supposons ,B < +oo. L'application N est alors majorée, sur l'intervalle [to, ,B[
par N(t0 )e 2 a(/3-to). Mais N(t) = llcp(t)ll 2 . Ainsi, l'application cp est alors bornée sur cet intervalle par
A= llcp(to)llea(/3-to).
Soit B la boule fermée de Ede centre 0 et de rayon A. Lorsque t E [to, ,B[, le graphe de cp est contenu dans la
partie fermée et bornée [to, ,B] x B de IR x E. L'espace E étant de dimension finie, [to, ,B] x Best une partie
compacte de IR x E. L'application f étant de classe C 1 sur IR x E, la frontière de son domaine de définition
est vide donc, d'après V.4.2, le bout droit de la solution maximale cp est vide. Mais alors, toujours d'après V.4.2,
il existe E: > 0 tel que pour tout t E ],B - E:, ,B[, ( t, cp( t)) ~ [to, ,B] x B. On aboutit à une contradiction. On a
ainsi montré que ,B = +oo. On montrerait de même que a = -oo, donc que les solutions maximales de ( *)
sont définies sur IR.
4) Soit f : IR x IR 2 ---+ IR 2 l'application f ( t, (x, y)) = (2x + ty + y 2 , -tx +y -xy). On muni IR 2 du produit
scalaire usuel. On a ((x,y) 1 f (t, (x,y))) = 2x 2 + y 2 ~ 2(x 2 + y 2 ) = 2((x,y) 1 (x,y)). On peut donc
appliquer les résultats précédents (prendre a = 2) : les solutions maximales du système différentiel considéré
sont définies sur IR.