Chapitre VI 1
Équations différentielles linéaires
Les équations différentielles linéaires forment une classe particulière d'équations ayant des
propriétés relativement simples. On observera en particulier que les solutions maximales
d'une équation linéaire sont définies sur l'intervalle sur lequel l'équation elle-même est
définie, et que le flot d'une équation différentielle linéaire et homogène s'exprime au
moyen de la résolvante, famille paramétrée d'isomorphismes linéaires.
Ainsi qu'on l'a vu à la fin du chapitre précédent (proposition VI.4.2), la différentielle
partielle, par rapport à sa troisième variable, du flot d'une équation différentielle de la
forme cp'(t) = f(t, cp(t)), où f est une fonction différentiable de classe CP, est solution
d'une équation différentielle linéaire. Cette propriété, qui est à la base de la méthode de
linéarisation pour l'étude des solutions d'une équation différentielle voisines d'une solution
particulière connue, est une des raisons de l'importance des équations différentielles
linéaires.
1. Propriétés générales
1.1. Définition. -
Soit E un espace de Banach. L'équation différentielle, dans
l'espace E,
cp'(t) = f(t,cp(t)),
où f est une application d'un ouvert n de IR x E dans E, est dite linéaire si l'ouvert
n est de la forme I x E, où I est un intervalle ouvert de IR, et si l'application f
est de la forme
f(t, x) = A(t) x + b(t),
où A est une application continue de I dans .C(E, E) et b une application continue
de I dans E. Cette équation différentielle linéaire est dite homogène si, de plus,
b =o.
1.2. Théorème d'existence. -
On considère l'équation différentielle linéaire, dans
l'espace de Banach E,
cp'(t) = A(t) cp(t) + b(t),
où A et b sont des applications continues d'un intervalle ouvert Ide IR, respectivement dans .C(E, E) et dans E. Pour toute donnée de Cauchy (t0 , x0 ) E IR x E, cette
équation différentielle a une solution maximale unique cp satisfaisant cette donnée
de Cauchy, c'est-à-dire vérifiant cp(to) = xo. De plus, cette solution maximale est
définie sur tout l'intervalle I. Autrement dit, le flot de cette équation différentielle
est défini sur l'ouvert D = I x I x E de IR x IR x E.
Équations différentielles linéaires
Les équations différentielles linéaires forment une classe particulière d'équations ayant des
propriétés relativement simples. On observera en particulier que les solutions maximales
d'une équation linéaire sont définies sur l'intervalle sur lequel l'équation elle-même est
définie, et que le flot d'une équation différentielle linéaire et homogène s'exprime au
moyen de la résolvante, famille paramétrée d'isomorphismes linéaires.
Ainsi qu'on l'a vu à la fin du chapitre précédent (proposition VI.4.2), la différentielle
partielle, par rapport à sa troisième variable, du flot d'une équation différentielle de la
forme cp'(t) = f(t, cp(t)), où f est une fonction différentiable de classe CP, est solution
d'une équation différentielle linéaire. Cette propriété, qui est à la base de la méthode de
linéarisation pour l'étude des solutions d'une équation différentielle voisines d'une solution
particulière connue, est une des raisons de l'importance des équations différentielles
linéaires.
1. Propriétés générales
1.1. Définition. -
Soit E un espace de Banach. L'équation différentielle, dans
l'espace E,
cp'(t) = f(t,cp(t)),
où f est une application d'un ouvert n de IR x E dans E, est dite linéaire si l'ouvert
n est de la forme I x E, où I est un intervalle ouvert de IR, et si l'application f
est de la forme
f(t, x) = A(t) x + b(t),
où A est une application continue de I dans .C(E, E) et b une application continue
de I dans E. Cette équation différentielle linéaire est dite homogène si, de plus,
b =o.
1.2. Théorème d'existence. -
On considère l'équation différentielle linéaire, dans
l'espace de Banach E,
cp'(t) = A(t) cp(t) + b(t),
où A et b sont des applications continues d'un intervalle ouvert Ide IR, respectivement dans .C(E, E) et dans E. Pour toute donnée de Cauchy (t0 , x0 ) E IR x E, cette
équation différentielle a une solution maximale unique cp satisfaisant cette donnée
de Cauchy, c'est-à-dire vérifiant cp(to) = xo. De plus, cette solution maximale est
définie sur tout l'intervalle I. Autrement dit, le flot de cette équation différentielle
est défini sur l'ouvert D = I x I x E de IR x IR x E.