§ 1. Propriétés générales
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Preuve : Les applications A et b étant continues, l'application (t, x) t-t f(t, x) =
A(t) x + b(t) est continue. Soient t E J, x et y E E. Nous avons
llJ(t,x)- f(t,y)ll ~ llA(t)ll llx-yll ·
L'application A, étant continue, est bornée sur toute partie compacte de I. Tout point
de I ayant un voisinage compact, l'inégalité ci-dessus prouve que l'application f est
localement lipschitzienne par rapport à sa seconde variable. Les théorèmes de CauchyLipschitz et d'existence et d'unicité globales montrent alors que pour toute donnée de
Cauchy (t0 , x0 ) E I x E, il existe une solution maximale unique

cette donnée.
Posons I =]a, b[, et soit ]a, ,8[ l'intervalle de définition de la solution maximale avons bien sûr a ~ a < /3 ~ b. Supposons ,8 < b, et soit d un point de ]a, ,8[. Les
applications A et b sont bornées en norme sur l'intervalle compact [d, ,8], par des réels
notés, respectivement, Met N. Nous pouvons leur imposer de vérifier M > 0, N 2: O.
Nous avons, pour tout t E [d, ,8[,
ll ce qui implique, d'après l'inégalité de Gronwall,
ll'P'(t)ll ~ ll'P'(d)ll eM ~ ll La fonction

définition de point du bout droit de la solution frontière de I x E, c'est-à-dire à {a, b} x E, ce qui n'est pas le cas puisque nous avons
supposé a ~ a < /3 < b. Puisque l'hypothèse /3 < b nous a conduit à une contradiction,
nous concluons que /3 = b. De même, nous pouvons montrer que a = a.
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1.3. Proposition. - On considère l'équation différentielle linéaire, dans l'espace de
Banach E,
où A et b sont des applications continues d'un intervalle ouvert Ide IR, respectivement dans .C(E, E) et dans E. Soit Toute autre solution maximale

de la forme

différentielle linéaire homogène
1/J' ( t) = A( t) 1/J( t) .
(**)
Réciproquement, pour toute solution maximale 1/J : I - E de l'équation
différentielle linéaire homogène ( **),

l'équation linéaire (1).
L'équation linéaire homogène (**) est dite associée à l'équation différentielle
linéaire ( 1).
Preuve : Un calcul simple montre immédiatement que si

1/J = calcul simple montre que réciproquement, si 1/J est solution maximale de ( ** ),

est solution maximale de ( *).
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