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Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
2. Équations différentielles linéaires homogènes
2.1. Proposition. -
On considère l'équation différentielle linéaire homogène, dans
l'espace de Banach E,
c.p'(t) = A(t) c.p(t),
où A est une application continue d'un intervalle ouvert I de lR dans l'espace
.C(E, E) des applications linéaires continues de E dans lui-même.
1. L'ensemble M des solutions maximales Je l'équation ( *) est un sous-espace
vectoriel de l'espace C(I, E) des applications continues de I dans E.
2. Soit to un point de I. L'application qui associe, à chaque solution maximale c.p
de l'équation ( *), sa valeur c.p( t0 ) au point t0 , est une application linéaire bijective
de M sur E. De plus, pour toute partie compacte non vide K de I, l'application
tEK
c.p E M,
est une norme sur M. L'espace M étant muni de cette norme, l'application de M
sur E : c.p ~ c.p(t0 ), est continue et d'inverse continue.
Preuve : La vérification de la propriété 1 est immédiate. Montrons la propriété 2.
L'application de M dans E, c.p ~ c.p(t0 ), est évidemment linéaire. D'après le théorème
d'existence et d'unicité globales, elle est bijective, puisque pour tout x0 E E, il existe une
solution maximale unique c.p de l'équation (1) qui vérifie c.p(t0 ) = x0 .
Soit K une partie compacte de I. Une solution maximale c.p de ( *) non identiquement nulle
ne s'annule en aucun point de K, car si elle s'annulait en un point () E K, il existerait deux
solutions maximales distinctes de (*)satisfaisant la donnée de Cauchy (0, 0), la solution
c.p et l'application identiquement nulle. Nous avons donc nécessairement llc.pllK =I= O. Il est
alors facile de vérifier que l'application de M dans IR, c.p ~ llc.pllK, vérifie bien les autres
propriétés d'une norme (homogénéité et sous-additivité); c'est donc une norme sur M.
Soit K 1 un intervalle fermé et borné de IR, contenu dans I, et contenant à la fois K et t0 .
L'application A, étant continue, est majorée par un réel M ;::: 0 sur le compact K 1 . Nous
avons, pour tout t E K 1 ,
Notons l la longueur de l'intervalle K 1 . L'inégalité de Gronwall montre alors que pour
tout t E K1,
Nous en déduisons
ce qui prouve que lorsque M est muni de la norme c.p ~ llc.pllK. l'application linéaire
bijective de M dans E, c.p ~ c.p(t0 ), est continue et d'inverse continue.
D
2.2. Remarque. -
Dans les hypothèses de la proposition précédente, on ne peut en
général pas munir M de la norme de la convergence uniforme sur l'intervalle I entier, qui
n'est pas compact.
2.3. Proposition. -
On considère l'équation différentielle linéaire homogène, dans
l'espace de Banach E,
c.p'(t) = A(t) c.p(t),
Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
2. Équations différentielles linéaires homogènes
2.1. Proposition. -
On considère l'équation différentielle linéaire homogène, dans
l'espace de Banach E,
c.p'(t) = A(t) c.p(t),
où A est une application continue d'un intervalle ouvert I de lR dans l'espace
.C(E, E) des applications linéaires continues de E dans lui-même.
1. L'ensemble M des solutions maximales Je l'équation ( *) est un sous-espace
vectoriel de l'espace C(I, E) des applications continues de I dans E.
2. Soit to un point de I. L'application qui associe, à chaque solution maximale c.p
de l'équation ( *), sa valeur c.p( t0 ) au point t0 , est une application linéaire bijective
de M sur E. De plus, pour toute partie compacte non vide K de I, l'application
tEK
c.p E M,
est une norme sur M. L'espace M étant muni de cette norme, l'application de M
sur E : c.p ~ c.p(t0 ), est continue et d'inverse continue.
Preuve : La vérification de la propriété 1 est immédiate. Montrons la propriété 2.
L'application de M dans E, c.p ~ c.p(t0 ), est évidemment linéaire. D'après le théorème
d'existence et d'unicité globales, elle est bijective, puisque pour tout x0 E E, il existe une
solution maximale unique c.p de l'équation (1) qui vérifie c.p(t0 ) = x0 .
Soit K une partie compacte de I. Une solution maximale c.p de ( *) non identiquement nulle
ne s'annule en aucun point de K, car si elle s'annulait en un point () E K, il existerait deux
solutions maximales distinctes de (*)satisfaisant la donnée de Cauchy (0, 0), la solution
c.p et l'application identiquement nulle. Nous avons donc nécessairement llc.pllK =I= O. Il est
alors facile de vérifier que l'application de M dans IR, c.p ~ llc.pllK, vérifie bien les autres
propriétés d'une norme (homogénéité et sous-additivité); c'est donc une norme sur M.
Soit K 1 un intervalle fermé et borné de IR, contenu dans I, et contenant à la fois K et t0 .
L'application A, étant continue, est majorée par un réel M ;::: 0 sur le compact K 1 . Nous
avons, pour tout t E K 1 ,
Notons l la longueur de l'intervalle K 1 . L'inégalité de Gronwall montre alors que pour
tout t E K1,
Nous en déduisons
ce qui prouve que lorsque M est muni de la norme c.p ~ llc.pllK. l'application linéaire
bijective de M dans E, c.p ~ c.p(t0 ), est continue et d'inverse continue.
D
2.2. Remarque. -
Dans les hypothèses de la proposition précédente, on ne peut en
général pas munir M de la norme de la convergence uniforme sur l'intervalle I entier, qui
n'est pas compact.
2.3. Proposition. -
On considère l'équation différentielle linéaire homogène, dans
l'espace de Banach E,
c.p'(t) = A(t) c.p(t),