§ 2. Équations différentielles linéaires homogènes
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où A est une application continue d'un intervalle ouvert I de lR dans l'espace
.C(E, E) des applications linéaires continues de E dans lui-même. Le flot de
cette équation est de la forme
(t, to, xo) = R(t, to) Xo,
où, pour tous to et t E J, R(t, t0 ) est un élément de l'ouvert GL(E) de .C(E, E)
(ensemble des applications linéaires inversibles, continues ainsi que leur inverse,
de E dans lui-même). L'application de I x I dans GL(E), (t, t0 ) f-t R(t, t0 ), est
appelée résolvante de l'équation différentielle linéaire ( *).
Preuve : Soient t 0 et t deux éléments de I. D'après la proposition 2.1, l'application de E
dans lui-même x0 f-t (t, t0 , x0 ) est composée de deux applications linéaires bijectives:
l'application qui, à un élément x0 de E, fait correspondre l'élément unique cp de l'espace
M des solutions maximales de ( *) qui vérifie cp( t 0 ) = x0, et l'application de M dans E
qui, à l'élément cp de M, fait correspondre l'élément cp(t) de E. C'est donc une application
linéaire et bijective de E sur lui-même. En choisissant une partie non vide quelconque K
de I et en munissant M de la norme cp f-t ll'PllK, nous voyons de plus que cette application
est continue et d'inverse continue, car composée de deux applications continues ainsi que
leurs inverses. Le flot de l'équation ( *) a donc bien pour expression
(t, to, xo) = R(t, to) xo,
où, pour tous t0 et t E /, R(t, t0 ) est élément de GL(E).
D
2.4. Proposition. -
Les hypothèses et notations étant celles de la proposition 2.3,
la résolvante R de l'équation différentielle linéaire homogène ( *) vérifie, pour tous
to, ti et t2 E J,
ce qui implique
R(t1, to)- 1 = R(to, ti).
Preuve : Ces propriétés ne sont que la traduction, dans le cas présent, des règles de
composition du flot d'une équation différentielle (proposition VI.2.3).
D
2.5. Théorème. -
On considère l'équation différentielle linéaire homogène, dans
l'espace de Banach E,
cp'(t) = A(t) cp(t),
où A est une application continue d'un intervalle ouvert I de lR dans l'espace
.C(E, E). Soit R la résolvante de cette équation, et t0 un élément de I. L'application
de I dans .C(E, E),
t f-t U(t) = R(t, to),
est différentiable de classe C 1 , et c'est l'unique solution maximale de l'équation
différentielle, dans l'espace de Banach .C(E, E),
U'(t) = A(t) o U(t),
qui satisfait la donnée de Cauchy (t0 , idE), c'est-à-dire qui vérifie U(to) = idE.
L'équation différentielle linéaire homogène ( **) est appelée équation résolvante de
l'équation ( *).