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Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
Preuve: Pour alléger l'écriture et éviter les confusions, posons E = .C(E, E), et pour tout
t E J, désignons par A(t) l'application de E dans lui-même
A(t)(u) = A(t) ou,
u E E = .C(E, E).
Pour tout t E J, l'application A(t) de E dans lui-même est évidemment linéaire. Elle est
continue, de norme majorée par llA(t)ll, puisque
llA(t)(u)li = llA(t) o ull ~ llA(t)ll llul/, u E E = .C(E, E).
De plus, l'application A: I-+ .C(E, E) est continue en tout point t 0 E J. Nous avons en
effet, pour tout u E E,
11 (A ( t) - A ( to)) ( u) 11 ~ 11 A ( t) - A ( to) 11 // u 11 ,
donc
llA(t) - A(to) Il ~ llA(t) - A(to)ll,
de sorte que la continuité de A au point t 0 implique celle de A au même point.
L'équation différentielle ( ** ), qui peut s'écrire
U'(t) = A(t) U(t)'
est une équation différentielle linéaire et homogène dans l'espace de Banach E, à laquelle
s'applique le théorème 1.2. Elle possède donc une solution maximale unique U vérifiant
U(t0 ) = idE. Posons alors, pour tout t E J, ip(t) = U(t) x0 . L'application

est de classe ci, car composée de U : I -+ E, qui est de classe ci, et de l'application de
E dans E, u !-? u(x0 ), qui est linéaire continue, de norme llxoll, donc de classe ci. En
calculant sa différentielle, nous obtenons

ce qui prouve que

sûr cp(t0 ) = x0 , donc n'est autre que t !-? R(t, t0 ) x 0 . Nous avons donc bien, pour tout
t E J, U(t) = R(t, t0 ), ce qui établit le résultat annoncé.
D
2.6. Théorème. -
On considère l'équation différentielle linéaire homogène, dans
l'espace de Banach E,
cp'(t) = A(t) cp(t),
où A est une application continue d'un intervalle ouvert I de lR dans l'espace
.C(E, E). Sa résolvante R est une application différentiable de classe ci de I x I
dans .C(E, E).
Preuve: Considérons momentanément t0 comme un élément fixé de I. D'après le théorème
précédent, l'application t !-? R(t, t0 ) est la solution maximale de l'équation résolvante ( **)
qui vérifie la donnée de Cauchy (t0 , idE)· C'est donc une application qui est différentiable
de classe ci par rapport à la variable t. Mais d'après le théorème de continuité du flot VI.2.7,
appliqué à l'équation résolvante, l'application Rest continue par rapport à l'ensemble de
ses deux variables (t, t 0 ). En écrivant l'équation résolvante sous la forme
oR(t, to) = A(t) o R(t t )
ot
' 0 '
nous voyons que la dérivée partielle de R par rapport à sa première variable est une fonction
continue de (t, t 0 ).
Considérons maintenant t comme un élément fixé de I. D'après 2.4, nous avons
R(t, to) = R(t 0 , t)-i.