§ 3. Méthode de variation de la constante
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L'application t0 1---4 R(t, t0 ) est donc composée de l'application t0 1---4 R(t0 , t), qui est de
classe ci, et de l'application de l'ouvert GL(E) de .C(E, E) dans .C(E, E), u 1---4 u-i, qui
est de classe C 00 (proposition III.3.2), donc a fortiori de classe ci. Par suite, t0 1---4 R( t, t0 )
est de classe ci.D'après la règle de différentiation des applications composées, nous avons
fJR(t, to)
R(
)-i 8R(to, t) R(
)-i
a = - to, t 0 a 0 to, t
to
to
= -R(t, t0 ) o A(t0 ) o R(t0 , t) o R(t0 , t)-i
= -R(t, to) o A(to).
La dernière égalité montre que la dérivée partielle de R par rapport à sa seconde variable
est fonction continue de (t, t0 ).
La résolvante R, dont les dérivées partielles par rapport à chacune des deux variables t et
t0 dont elle dépend existent et sont des fonctions continues de (t, t0 ), est de classe ci. D
2.7. Remarque. - D'après le théorème 2.5, la résolvante R de l'équation différentielle
linéaire homogène (*)est solution de l'équation résolvante, que nous pouvons écrire sous
la forme
8R(t, to) _A( ) R(
)
ot
-
t 0 t, to .
Au cours de la démonstration du théorème ci-dessus, nous avons prouvé que la résolvante
R vérifie aussi
{)R~t, to) = -R(t, t 0 ) o A(t 0 ).
to
C'est une équation différentielle linéaire et homogène dans l'espace de Banach .C(E, E),
la variable indépendante étant maintenant t 0 . Cette équation, dont le lecteur remarquera
la grande ressemblance avec l'équation résolvante, est parfois appelée seconde équation
résolvante.
3. Méthode de variation de la constante
Nous considérons de nouveau dans ce paragraphe une équation différentielle linéaire, non
homogène. Nous allons voir que la connaissance de la résolvante de l'équation homogène
associée permet la détermination, par une simple quadrature (calcul d'intégrale), de toutes
les solutions maximales de cette équation non homogène.
3.1. Théorème. -
Soient E un espace de Banach, A et b des applications
continues d'un intervalle ouvert I de IR, respectivement dans .C(E, E) et dans
E. Soit (t, to) 1---4 R(t, t0 ) la résolvante de l'équation différentielle homogène
'l/J'(t) = A(t)'l/;(t).
(*)
Soit (to, xo) E I x E une donnée de Cauchy. La solution maximale <.p de l'équation
différentielle non homogène
c.p'(t) = A(t) c.p(t) + b(t)
qui satisfait cette donnée de Cauchy est
c.p(t) = R(t, to) xo + lt R(t, e) b(e) de.
to
Preuve : Soit x un élément de E. La solution maximale de l'équation homogène ( *) qui
satisfait la donnée de Cauchy ( t 0 , x) est
'l/;(t) = R(t, to) X.