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Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
Comme nous cherchons les solutions maximales de l'équation non homogène ( ** ), et
non pas celles de l'équation homogène(*), nous allons supposer que x est non plus un
élément constant de E, mais plutôt une application différentiable del dans E. Nous allons
déterminer cette application de manière telle que l'application
t t-t ip(t) = R(t, to) x(t)
soit la solution maximale de ( **) qui satisfait la donnée de Cauchy ( t0 , x 0 ). Ce procédé
est connu sous le nom de méthode de variation de la constante, car il consiste à faire varier
l'élément x de E qui, lorsqu'il est constant, apparaît dans l'expression des solutions de
l'équation homogène ( *).
Puisque nous avons supposé x différentiable, l'application t t-t R(t, t0 ) x(t) est
différentiable sur 1, car elle est composée de t t-t (R(t, t0 ),x(t)), dont les deux composantes sont différentiables, et de l'application de .C(E, E) x E dans E, (U, x) t-t U x,
bilinéaire continue donc différentiable. Sa dérivée, en tout point t de 1, est, puisque
t t-t R(t, t0 ) est solution de l'équation résolvante,
ip'(t) = âR~; to) x(t) + R(t, t0 ) x'(t) = A(t) o R(t, to) x(t) + R(t, to) x'(t).
En portant cette expression de <.p 1 ( t) et l'expression ci-dessus de ip( t) dans l'équation ( **),
nous obtenons
R(t, to) x'(t) = b(t),
d'où
x'(t) = (R(t, t 0 ))- 1 b(t) = R(t0 , t) b(t).
D'autre part, nous devons avoir <.p(t0 ) = x0 , donc x(t0 ) = x0 . Par suite, pour tout t E 1,
x(t) = Xo + lt R(to,(J) b(O) dO,
to
donc
ip(t) = R(t, to) x(t) = R(t, to) xo + R(t, to) lt R(to, 0) b(O) dO,
to
ou, compte tenu de la propriété de l'intégrale rappelée en V.2.4.f,
ip(t) = R(t, t0 ) x0 + lt R(t, t0 ) o R(t0 , 0) b(O) dO,
to
d'où le résultat indiqué, puisque R(t, t0 ) o R(t0 , 0) = R(t, 0).
3.2. Exemple. - Considérons l'équation différentielle sur lR
ip'(t) = kip(t) + cos(wt),
avec k E IR, w E R L'équation homogène associée,
'If;' ( t) = k'lj; ( t) ,
a pour résolvante
R(t, to) = é(t-to).
D
La solution maximale del' équation ( *) qui satisfait la donnée de Cauchy ( t 0 , xo) est donc
ip(t) = x 0 é(t-to) + lt ek(t-to) cos(wO) dO
to
k(t-to)
wsin(wt)- kcos(wt)-ek(t-to)(wsin(wt0 ) - kcos(wt0 ))
= xoe
+
k2 + w2
.
Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
Comme nous cherchons les solutions maximales de l'équation non homogène ( ** ), et
non pas celles de l'équation homogène(*), nous allons supposer que x est non plus un
élément constant de E, mais plutôt une application différentiable del dans E. Nous allons
déterminer cette application de manière telle que l'application
t t-t ip(t) = R(t, to) x(t)
soit la solution maximale de ( **) qui satisfait la donnée de Cauchy ( t0 , x 0 ). Ce procédé
est connu sous le nom de méthode de variation de la constante, car il consiste à faire varier
l'élément x de E qui, lorsqu'il est constant, apparaît dans l'expression des solutions de
l'équation homogène ( *).
Puisque nous avons supposé x différentiable, l'application t t-t R(t, t0 ) x(t) est
différentiable sur 1, car elle est composée de t t-t (R(t, t0 ),x(t)), dont les deux composantes sont différentiables, et de l'application de .C(E, E) x E dans E, (U, x) t-t U x,
bilinéaire continue donc différentiable. Sa dérivée, en tout point t de 1, est, puisque
t t-t R(t, t0 ) est solution de l'équation résolvante,
ip'(t) = âR~; to) x(t) + R(t, t0 ) x'(t) = A(t) o R(t, to) x(t) + R(t, to) x'(t).
En portant cette expression de <.p 1 ( t) et l'expression ci-dessus de ip( t) dans l'équation ( **),
nous obtenons
R(t, to) x'(t) = b(t),
d'où
x'(t) = (R(t, t 0 ))- 1 b(t) = R(t0 , t) b(t).
D'autre part, nous devons avoir <.p(t0 ) = x0 , donc x(t0 ) = x0 . Par suite, pour tout t E 1,
x(t) = Xo + lt R(to,(J) b(O) dO,
to
donc
ip(t) = R(t, to) x(t) = R(t, to) xo + R(t, to) lt R(to, 0) b(O) dO,
to
ou, compte tenu de la propriété de l'intégrale rappelée en V.2.4.f,
ip(t) = R(t, t0 ) x0 + lt R(t, t0 ) o R(t0 , 0) b(O) dO,
to
d'où le résultat indiqué, puisque R(t, t0 ) o R(t0 , 0) = R(t, 0).
3.2. Exemple. - Considérons l'équation différentielle sur lR
ip'(t) = kip(t) + cos(wt),
avec k E IR, w E R L'équation homogène associée,
'If;' ( t) = k'lj; ( t) ,
a pour résolvante
R(t, to) = é(t-to).
D
La solution maximale del' équation ( *) qui satisfait la donnée de Cauchy ( t 0 , xo) est donc
ip(t) = x 0 é(t-to) + lt ek(t-to) cos(wO) dO
to
k(t-to)
wsin(wt)- kcos(wt)-ek(t-to)(wsin(wt0 ) - kcos(wt0 ))
= xoe
+
k2 + w2
.