§ 4. Étude de l'équation résolvante
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4. Étude de l'équation résolvante
Considérons d'abord un cas particulier, celui d'une équation différentielle linéaire homogène et autonome.
4.1. Proposition. -
Soit E un espace de Banach, et A un élément de .C(E, E). La
résolvante de l'équation différentielle linéaire homogène et autonome
cp'(t) =A cp(t)
est
R(t, to) = exp((t - to)A).
Preuve : D'après les propriétés du flot d'une équation autonome (VI.2.3 et VI.2.4), nous
savons que la résolvante de l'équation considérée est de la forme
R(t, to) = U(t - to).
D'autre part, s étant un réel, exp(sA) a pour expression (voir par exemple [T.IX.4.3]),
OO
n
exp(sA) = idE + L; An,
n=l n.
la série figurant dans le membre de droite étant normalement convergente dans .C(E, E).
La série obtenue par dérivation terme à terme, par rapport à s, est
f; (:~-:)!A"~ Ao (dE+ t. ~Am)
=A o exp(sA) = exp(sA) o A.
L'opération que nous avons effectuée (mise en facteurs de A à gauche) est en effet
légitime, en raison de la convergence normale de la série et de la continuité de l'application
(A, B) 1---+ A o B, où A et B sont deux éléments de .C(E, E). D'autre part, la série obtenue
par dérivation terme à terme par rapport à s du membre de droite de l'égalité ( *) étant
nomalement convergente, est égale à la dérivée par rapport à s du membre de gauche. Nous
voyons donc que l'application s 1---+ exp(sA) est dérivable en tout points de IR, et que sa
dérivée a pour expression
d
ds exp(sA) =A o exp(sA) = exp(sA) o A.
Comme de plus, pour s = 0, exp(OA) = idE, le théorème 2.5 permet d'affirmer que
exp(sA) = R(s, 0). Par suite, nous avons bien, pour tous t et to E IR, R(t, to) =
exp( (t - to)A).
D
Lorsque l'application A n'est pas constante, il existe une expression de la résolvante
appelée exponentielle de Dyson qui, en un certain sens, généralise le résultat ci-dessus
(voir [3, page 62]). Nous nous bornerons à traiter le cas particulier simple où l'application
A possède une primitive avec laquelle elle commute. Nous devons auparavant établir le
résultat suivant.
4.2. Lemme. -
Soit E un espace de Banach, et C une application continue d'un
intervalle ouvert I de lR dans .C(E, E). Soit t0 un point de I. On suppose que C
est dérivable au point t0 , et que sa dérivée C'(t0 ) en ce point commute avec C(to),
c'est-à-dire vérine
C'(to) o C(to) = C(to) o C'(to).
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4. Étude de l'équation résolvante
Considérons d'abord un cas particulier, celui d'une équation différentielle linéaire homogène et autonome.
4.1. Proposition. -
Soit E un espace de Banach, et A un élément de .C(E, E). La
résolvante de l'équation différentielle linéaire homogène et autonome
cp'(t) =A cp(t)
est
R(t, to) = exp((t - to)A).
Preuve : D'après les propriétés du flot d'une équation autonome (VI.2.3 et VI.2.4), nous
savons que la résolvante de l'équation considérée est de la forme
R(t, to) = U(t - to).
D'autre part, s étant un réel, exp(sA) a pour expression (voir par exemple [T.IX.4.3]),
OO
n
exp(sA) = idE + L; An,
n=l n.
la série figurant dans le membre de droite étant normalement convergente dans .C(E, E).
La série obtenue par dérivation terme à terme, par rapport à s, est
f; (:~-:)!A"~ Ao (dE+ t. ~Am)
=A o exp(sA) = exp(sA) o A.
L'opération que nous avons effectuée (mise en facteurs de A à gauche) est en effet
légitime, en raison de la convergence normale de la série et de la continuité de l'application
(A, B) 1---+ A o B, où A et B sont deux éléments de .C(E, E). D'autre part, la série obtenue
par dérivation terme à terme par rapport à s du membre de droite de l'égalité ( *) étant
nomalement convergente, est égale à la dérivée par rapport à s du membre de gauche. Nous
voyons donc que l'application s 1---+ exp(sA) est dérivable en tout points de IR, et que sa
dérivée a pour expression
d
ds exp(sA) =A o exp(sA) = exp(sA) o A.
Comme de plus, pour s = 0, exp(OA) = idE, le théorème 2.5 permet d'affirmer que
exp(sA) = R(s, 0). Par suite, nous avons bien, pour tous t et to E IR, R(t, to) =
exp( (t - to)A).
D
Lorsque l'application A n'est pas constante, il existe une expression de la résolvante
appelée exponentielle de Dyson qui, en un certain sens, généralise le résultat ci-dessus
(voir [3, page 62]). Nous nous bornerons à traiter le cas particulier simple où l'application
A possède une primitive avec laquelle elle commute. Nous devons auparavant établir le
résultat suivant.
4.2. Lemme. -
Soit E un espace de Banach, et C une application continue d'un
intervalle ouvert I de lR dans .C(E, E). Soit t0 un point de I. On suppose que C
est dérivable au point t0 , et que sa dérivée C'(t0 ) en ce point commute avec C(to),
c'est-à-dire vérine
C'(to) o C(to) = C(to) o C'(to).