180
Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
Alors l'application t t--t exp( C(t)) est dérivable au point t0 , et a pour dérivée en
ce point
d
dt exp(C(t)) lt=to = C'(to) o exp(C(to)) = exp(C(to)) o C'(t0 ).
Preuve: Nous avons, pour tout t E J,
exp(C(t)) - exp(C(t0)) - (t - t0 )C'(t0 ) o exp(C(t0))
= f ~! ( ( C(t) r - ( C(to)r - n(t - to)C'(to) o ( C(to) r- 1 ) .
n=l
Nous allons majorer en norme chaque terme de la série figurant au membre de droite. Pour
cela nous remarquons d'abord qu'il existe un intervalle fermé et borné J, contenu dans
I, dont l'intérieur contient t 0 • Sur le compact J, l'application continue C est majorée en
norme par un réel M 2 O. Pour tout entier n 2 1 et tout t E J, nous avons
n-1
(c(t)t - (c(to)r = L(c(to))k o (c(t) - c(to)) o (c(t)r-k-l, (*)
k=O
d'où nous déduisons
li(C(t)r- (C(to)rli::; nMn- 1 1iC(t) -C(to)li.
D'autre part, puisque C'(to) et C(t0 ) commutent, nous avons
n-1
nC'(to) 0 (C(to)r-l = L(C(to))k 0 C'(to) 0 (C(to)r-k-l.
(***)
k=O
En combinant ( *) et ( *** ), nous obtenons
(C(t)t - (C(to)t - n(t - to)C'(to) o (C(to)r- 1
n-1
= L(C(to))k o (C(t) - C(to) - (t - to)C'(to)) o (C(to))n-k-l
k=O
n-1
+ L(c(to))k o (c(t) - c(to)) o ( (c(t)r-k-l - (c(to)r-k- 1 ).
k=O
En utilisant l'inégalité (**)(dans laquelle nous remplaçons n par n - k - 1) pour majorer
le second terme du membre de droite, nous en déduisons l'inégalité, valable pour tout
entier n 2 1 et tout t E J,
li(C(t)t - (C(to)t - n(t- to)C'(to) o (C(to)r- 1 11
::; nMn- 1 llC(t) - C(to) - (t - to)C'(to)ll
+ (n ~ l)n Mn-211C(t) - C(to)i12.
Nous avons donc, pour tout t E J,
Il exp ( C ( t)) - exp ( C ( to)) - ( t - to) C' ( to) o exp ( C ( to)) Il
::; eM (llC(t) - C(to) - (t - to)C'(to)li + llC(t) - C(to)i1 2 ),
ce qui prouve que le membre de gauche de cette inégalité est o(t - t0 ), c'est-à-dire que
lapplication t t--t exp ( C ( t)) est dérivable au point t0 et a pour dérivée en ce point
C'(t0 ) o exp(C(to)). Remarquons enfin que C'(t0 ), commutant avec toute puissance de
C(to), commute aussi avec exp( C(t0 ) ).
D