§ 4. Étude de l'équation résolvante
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4.3. Proposition. -
Soit E un espace de Banach, et A une application continue
d'un intervalle ouvert I de lR dans C(E, E). On suppose qu'il existe une primitive
C : I ---+ C(E, E) de l'application A qui vérifie, pour tout t E J,
A(t) o C(t) = C(t) o A(t).
Alors la solution de l'équation résolvante
8R(t, ta) - A(t) R(t t )
8t
-
0
,, a '
t et ta E I,
qui vérifie R(ta, ta)= idE, est
R(t, ta)= exp(C(t)) o exp(-C(ta)).
Preuve: L'application C est dérivable et a pour dérivée, en tout point t de I, C' (t) = A(t),
qui par hypothèse commute avec C(t). D'après le lemme4.2, l'application t 1---7 exp( C(t))
est dérivable et a pour dérivée, en tout point t de I,
d
dt exp ( C ( t)) = A (t) o exp ( C ( t)) .
La composition à droite avec 1 'élément fixé exp ( -C (ta)) étant une application linéaire
continue, nous en déduisons que t 1---7 exp(C(t)) o exp(-C(ta)) est dérivable et a pour
dérivée, en tout point t de I,
:t (exp( C(t)) o exp(-C(ta))) = A(t) o exp( C(t)) o exp(-C(ta)) .
Cette application est bien solution de l'équation résolvante, et elle satisfait la donnée de
Cauchy (ta, idE). Nous avons bien R(t, ta)= exp(C(t)) o exp(-C(ta)).
D
Une application continue A : I ---+ C(E, E) ne possède pas toujours une primitive C telle
que, pour tout t E J, A(t) et C(t) commutent. La proposition 4.5 indique un cas où une
telle primitive existe. Nous 1' obtiendrons comme conséquence du lemme suivant.
4.4. Lemme. -
Soit E un espace de Banach, et E = C(E, E). On considère
l'équation différentielle dans E
U'(t) = A1 (t) o U(t) + U(t) o A2(t) + B(t),
où Ai, A2 et B sont des applications continues d'un intervalle ouvert Ide lR dans
E. Soient U : I ---+ E une solution maximale de cette équation, ta un élément de I,
et D un élément de E. On suppose que D commute avec U(ta) et, pour tout t E IR,
avec A1(t), A2 (t) et B(t). Alors, pour tout t E J, D commute avec U(t).
Preuve : Pour alléger l'écriture posons, pour tous V et W E E,
Nous avons
[V, WJ = V o W - W o V.
d
dt [U(t), D] = [U' (t), D]
= (A1(t) o U(t) + U(t) o A2(t) + B(t), D]
= A1 (t) o [U(t), D] + [U(t), D] o A2(t).
L'application t 1---7 V ( t) = [U ( t), D J est donc solution de l'équation différentielle linéaire
V'(t) = A 1 (t) o V(t) + V(t) o A2(t).
Comme elle s'annule au point ta. l'application V est identiquement nulle sur I.
D