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Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
4.5. Proposition. -
Soit E un espace de Banach et A une application continue
d'un intervalle ouvert I de IR dans .C(E, E). On suppose que pour tous fh et
82 E /, A(01) et A(02) commutent. Alors, pour tous to, t1, t2 et t3 E /, ft: 1 A(O) dO
commute avec A(t2) et avec ft: 3 A(O) dO.
Sous ces hypothèses, la résolvante de l'équation différentielle
est
Preuve : Posons
Nous avons
cp'(t) = A(t) cp(t)
R(t, t0 ) =exp (1: A(O) dO)
U(t) = t A(O) dO.
lto
U'(t) = A(t).
Le lemme 4.4, dans lequel nous remplaçons B par A, et nous faisons A1 = 0, A2 = 0 et
D = A(t2), montre que A(t2) commute avec U(t) pour tout t E J, et en particulier pour
t = ti.
Remplaçons t2 par t, t0 par t2 et t1 par t3 . Nous voyons ainsi que pour tout t E J,
A(t) commute avec ft: 3 A(O) dO. En appliquant à nouveau le lemme 4.4, dans lequel nous
remplaçons B par A et nous faisons A1 = 0, A 2 = 0 et D = ft: 3 A(O) dO, nous voyons
que ft: 3 A(O) dO commute avec U(t) pour tout t E /,et en particulier pour t = t 1 .
L'application U est une primitive de A et, pour tout t E /, U(t) et A(t) commutent.
D'après la proposition 4.3, la résolvante de l'équation différentielle
cp'(t) = A(t) cp(t)
est
R(t,to) = exp(U(t)) oexp(-U(t0 )) = exp(U(t)),
puisque U(t0 ) =O.
D
La proposition suivante donne, dans le cas où l'espace vectoriel E est de dimension finie,
une expression remarquable du déterminant de la résolvante. Le lecteur observera que cette
expression ne suppose pas que l'application A possède une primitive avec laquelle elle
commute. Il observera aussi que cette expression du déterminant de la résolvante est de
même forme que l'expression de la résolvante elle-même donnée par la proposition 5.5.
4.6. Proposition. -
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fi.nie et A une
application continue d'un intervalle ouvert I de IR. dans .C(E, E). Soit R(t, t 0 ) la
résolvante de l'équation différentielle
cp'(t) = A(t)cp(t).
Le déterminant de R(t, t 0 ) a pour expression
détR(t, to) =exp (1: TraceA(O) dO) ,
où TraceA(O) c1ésigne la trace de l'endomorphisme A(O).
Chapitre VII. Équations différentielles linéaires
4.5. Proposition. -
Soit E un espace de Banach et A une application continue
d'un intervalle ouvert I de IR dans .C(E, E). On suppose que pour tous fh et
82 E /, A(01) et A(02) commutent. Alors, pour tous to, t1, t2 et t3 E /, ft: 1 A(O) dO
commute avec A(t2) et avec ft: 3 A(O) dO.
Sous ces hypothèses, la résolvante de l'équation différentielle
est
Preuve : Posons
Nous avons
cp'(t) = A(t) cp(t)
R(t, t0 ) =exp (1: A(O) dO)
U(t) = t A(O) dO.
lto
U'(t) = A(t).
Le lemme 4.4, dans lequel nous remplaçons B par A, et nous faisons A1 = 0, A2 = 0 et
D = A(t2), montre que A(t2) commute avec U(t) pour tout t E J, et en particulier pour
t = ti.
Remplaçons t2 par t, t0 par t2 et t1 par t3 . Nous voyons ainsi que pour tout t E J,
A(t) commute avec ft: 3 A(O) dO. En appliquant à nouveau le lemme 4.4, dans lequel nous
remplaçons B par A et nous faisons A1 = 0, A 2 = 0 et D = ft: 3 A(O) dO, nous voyons
que ft: 3 A(O) dO commute avec U(t) pour tout t E /,et en particulier pour t = t 1 .
L'application U est une primitive de A et, pour tout t E /, U(t) et A(t) commutent.
D'après la proposition 4.3, la résolvante de l'équation différentielle
cp'(t) = A(t) cp(t)
est
R(t,to) = exp(U(t)) oexp(-U(t0 )) = exp(U(t)),
puisque U(t0 ) =O.
D
La proposition suivante donne, dans le cas où l'espace vectoriel E est de dimension finie,
une expression remarquable du déterminant de la résolvante. Le lecteur observera que cette
expression ne suppose pas que l'application A possède une primitive avec laquelle elle
commute. Il observera aussi que cette expression du déterminant de la résolvante est de
même forme que l'expression de la résolvante elle-même donnée par la proposition 5.5.
4.6. Proposition. -
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fi.nie et A une
application continue d'un intervalle ouvert I de IR. dans .C(E, E). Soit R(t, t 0 ) la
résolvante de l'équation différentielle
cp'(t) = A(t)cp(t).
Le déterminant de R(t, t 0 ) a pour expression
détR(t, to) =exp (1: TraceA(O) dO) ,
où TraceA(O) c1ésigne la trace de l'endomorphisme A(O).