§ 4. Étude de l'équation résolvante
183
Preuve: Soit n la dimension de E, et 17 une forme élément de volume sur E, c'est-à-dire
une forme n fois multilinéaire alternée sur En, non identiquement nulle.
Rappelons deux résultats bien connus d'algèbre linéaire, dont le lecteur trouvera la
démonstration, par exemple, dans [3]. Soient B un endomorphisme de E, ai, ... , an
n éléments de E. Nous avons
détB17(ai, ... ,an) =r1(Bai, ... ,Ban)
Trace B 17(ai, ... , an) = 17(Bai, a2, ... , an)
+11(ai,Ba2,a3, ... ,an)
+···
+11(ai,a2, ... ,an-i,Ban)·
(***)
Posons, pour alléger l'écriture,
'Pi(t) = R(t, to)ai, 1 ~ i ~ n,
D.(t) = détR(t, to).
Remarquons que t 1--+ 'Pi ( t) est la solution maximale de l'équation différentielle ( *) qui
prend la valeur ai pour t = t0 .
Faisons B = R(t, t0 ) dans l'équation(**). Nous obtenons
D.(t)17(ai, ... ,an)= 17(cpi(t), ... ,cpn(t)).
Dérivons par rapport à t. Nous avons
dcpd?) = A(t)cpi(t).
Compte tenu de la formule(***), dans laquelle nous faisons B = A(t), nous obtenons
dD.(t)
-;ft17(ai, ... , an)= TraceA(t)17(cpi(t), ... , 'Pn(t))
= Trace A( t)D.( t)17( ai, ... , an) .
En choisissant les éléments ai, ... , an de E linéairement indépendants, nous pouvons faire
en sorte que 17( ai, ... , an) soit non nul. En divisant par 17( ai, ... , an), nous obtenons
dD.(t)
-;fi= TraceA(t)D.(t),
d'où
D.(t) = D.(t0 ) exp (1: Trace A(O) de)
Mais puisque R(t0 , t0 ) = idE, D.(t0 ) = détidE = 1. Le résultat indiqué en découle. D
Indiquons enfin une autre conséquence du lemme 4.4, qui sera utile dans la suite.
4.7. Proposition. -
Soit E un espace de Banach complexe, et A une application
continue d'un intervalle ouvert I de lR dans Cc(E, E) (espace des applications Clinéaires continues de E dans lui-même). La résolvante R de l'équation différentielle
cp'(t) = A(t) cp(t)
est à valeurs dans l'espace Cc(E, E).
Preuve : Notons J : E ---> E la multiplication par le scalaire complexe i = A.
Nous pouvons considérer J comme une application IR-linéaire de E dans lui-même. Nous
savons (I.4.2) qu'une autre application IR-linéaire U de E dans lui-même est C-linéaire si
et seulement si elle commute avec J. Soit t0 un élément de I. Posons, pour tout t E J,
U(t) = R(t, t 0 ).
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Preuve: Soit n la dimension de E, et 17 une forme élément de volume sur E, c'est-à-dire
une forme n fois multilinéaire alternée sur En, non identiquement nulle.
Rappelons deux résultats bien connus d'algèbre linéaire, dont le lecteur trouvera la
démonstration, par exemple, dans [3]. Soient B un endomorphisme de E, ai, ... , an
n éléments de E. Nous avons
détB17(ai, ... ,an) =r1(Bai, ... ,Ban)
Trace B 17(ai, ... , an) = 17(Bai, a2, ... , an)
+11(ai,Ba2,a3, ... ,an)
+···
+11(ai,a2, ... ,an-i,Ban)·
(***)
Posons, pour alléger l'écriture,
'Pi(t) = R(t, to)ai, 1 ~ i ~ n,
D.(t) = détR(t, to).
Remarquons que t 1--+ 'Pi ( t) est la solution maximale de l'équation différentielle ( *) qui
prend la valeur ai pour t = t0 .
Faisons B = R(t, t0 ) dans l'équation(**). Nous obtenons
D.(t)17(ai, ... ,an)= 17(cpi(t), ... ,cpn(t)).
Dérivons par rapport à t. Nous avons
dcpd?) = A(t)cpi(t).
Compte tenu de la formule(***), dans laquelle nous faisons B = A(t), nous obtenons
dD.(t)
-;ft17(ai, ... , an)= TraceA(t)17(cpi(t), ... , 'Pn(t))
= Trace A( t)D.( t)17( ai, ... , an) .
En choisissant les éléments ai, ... , an de E linéairement indépendants, nous pouvons faire
en sorte que 17( ai, ... , an) soit non nul. En divisant par 17( ai, ... , an), nous obtenons
dD.(t)
-;fi= TraceA(t)D.(t),
d'où
D.(t) = D.(t0 ) exp (1: Trace A(O) de)
Mais puisque R(t0 , t0 ) = idE, D.(t0 ) = détidE = 1. Le résultat indiqué en découle. D
Indiquons enfin une autre conséquence du lemme 4.4, qui sera utile dans la suite.
4.7. Proposition. -
Soit E un espace de Banach complexe, et A une application
continue d'un intervalle ouvert I de lR dans Cc(E, E) (espace des applications Clinéaires continues de E dans lui-même). La résolvante R de l'équation différentielle
cp'(t) = A(t) cp(t)
est à valeurs dans l'espace Cc(E, E).
Preuve : Notons J : E ---> E la multiplication par le scalaire complexe i = A.
Nous pouvons considérer J comme une application IR-linéaire de E dans lui-même. Nous
savons (I.4.2) qu'une autre application IR-linéaire U de E dans lui-même est C-linéaire si
et seulement si elle commute avec J. Soit t0 un élément de I. Posons, pour tout t E J,
U(t) = R(t, t 0 ).